Skip to main content

Свойства степени с натуральным показателем

Основное свойство степени​

Теорема

Для любого числа aa и любых натуральных чисел mm и nn справедливо равенство:

aman=am+na^ma^n=a^{m+n}

1) am=a⋅a⋅...⋅a⏟m множителей;a^m=\underbrace{a\cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{m множителей}};

2) an=a⋅a⋅...⋅a⏟n множителей;a^n=\underbrace{a\cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{n множителей} };

3) aman=a⋅a⋅...⋅a⏟m множителей⋅a⋅a⋅...⋅a⏟n множителей=a⋅a⋅...⋅a⏟n+m множителей=an+m.a^ma^n=\underbrace{a\cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{m множителей} } \cdot \underbrace{a\cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{n множителей} }= \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{n+m множителей}}=a^{n+m}.


Представить в виде степени произведение: b5b3b^5b^3

Решение:

b5b3=b5+3=b8b^5b^3=b^{5+3}=b^8

Правило

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а основание оставляют прежним.


Деление степеней с одинаковым основанием​

Теорема

Для любого числа aa, отличного от нуля, и любых натуральных чисел mm и nn таких, что m>nm > n справедливо равенство:

am:an=am−na^m:a^n=a^{m-n}

  1. Рассмотрим произведение am−n⋅ana^{m-n}\cdot a^n. По основному свойству степени получим: am−n⋅an=am−n+n=am.a^{m-n}\cdot a^n= a^{m-n+n}=a^m.
  2. Итак, am−n⋅an=ama^{m-n}\cdot a^n=a^m, а это означает (по определению частного), что am:an=am−n.a^m:a^n=a^{m-n}.


Представить в виде степени частное: a13:a4a^{13}:a^4



Решение: a13:a4=a13−4=a9a^{13}:a^4=a^{13-4}=a^{9}

Правило

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитают показатель делителя.


Будьте внимательны

В расмотренных теоремах (правилах) речь идёт только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А для сложения и вычитания степеней таких правил нет. Нельзя, например, заменить сумму 32+333^2+3^3 на 353^5. Достаточно посчитать, чтобы убедиться в этом: 32=93^2=9, 33=273^3=27, а 35=2433^5=243.


Возведение степени в степень​

Теорема

Для любого числа aa и любых натуральных чисел mm и nn справедливо равенство:

(am)n=amn\left(a^m\right)^n=a^{mn}

(am)n=am⋅am⋅...⋅am⏟n множителей="\left(a^m\right)^n=\underbrace{a^m \cdot a^m \cdot ... \cdot a^m}_{\text{n множителей}}="=(a⋅a⋅...⋅a)⋅(a⋅a⋅...⋅a)⋅...⋅(a⋅a⋅...⋅a)⏟n групп по m множителей в каждой ="=\underbrace{(a\cdot a \cdot ... \cdot a)\cdot(a\cdot a\cdot ... \cdot a) \cdot ... \cdot (a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{\text{n групп по m множителей в каждой }}="=a⋅a⋅...⋅a⋅a⋅...⋅a⋅a⋅...⋅a⏟nm множителей=anm"=\underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a \cdot a\cdot ... \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{\text{nm множителей}}=a^{nm}"


Представьте в виде степени с основанием aa выражение: (a4)5(a^4)^5


Решение: (a4)5=a4⋅5=a20(a^4)^5=a^{4 \cdot 5}=a^{20}


Правило

При возведении степени в степень показатели перемножаются.


Возведение произведения в степень​

Теорема

Для любых чисел aa и bb и любого натурального числа nn справедливо равенство:

(ab)n=anbn(ab)^n=a^nb^n

(ab)n=(ab)⋅(ab)⋅...⋅(ab)⏟n множителей=(ab)^n=\underbrace{(ab)\cdot (ab) \cdot ... \cdot (ab)}_{\text{n множителей}}==(a⋅a⋅...⋅a)⏟n множителей⋅(b⋅b⋅...⋅b)⏟n множителей=anbn=\underbrace{(a\cdot a \cdot ... \cdot a)}_{\text{n множителей}}\cdot \underbrace{(b\cdot b \cdot ... \cdot b)}_{\text{n множителей}}=a^nb^n


Представьте в виде произведения степеней: (mn)7(mn)^7


Решение: (mn)7=m7n7(mn)^7=m^7n^7


Правило

При возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают.

Вопросы для самоконтроля​

  1. Как умножить степени с одинаковым основанием?
  2. Как разделить степени с одинаковым основанием?
  3. Как возвести степень в степень?
  4. Как возвести произведение в степень?
  5. Запишите тождество, выражающее основное свойство степени.