Определение логарифма

---

Что такое логарифм

Если нужно решить уравнение $2^x=4$, то легко можно найти, что $x=2$. Но как найти решение уравнения $2^x=5$?🤔 И существует ли оно вообще?

Если решение кажется сложным или неочевидным, полезно воспользоваться графическим методом.

На рисунке изображены графики функций $y=2^x$ и $y=5$. Они пересекаются в одной точке. Это значит, что наше уравнение имеет решение ✅. Однако графический метод не позволяет точно определить значение этого корня. Мы можем лишь сказать, что он находится между числами $2$ и $3$.

Корень уравнения $2^x=5$ договорились называть логарифмом числа 5 по основанию 2 и обозначать $\log_2{5}$. Значит, число $\log_2{5}$ - это показатель степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 5 🎯.

---

Свойства показательных функций

К понятию логарифма мы приходим, когда решаем уравнения вида $a^x=b$. Левую часть такого уравнения можно рассматривать как показательную функцию $y=a^x$. Для работы с этой функцией нужно учитывать следующие важные моменты:

• $a$ не может быть равно $1$, потому что $1^x=1$. В этом случае функция становится постоянной, то есть не зависит от $x$, и перестаёт быть показательной;
• $a$ не может быть равно $0$, потому что $0^x=0$ для любого положительного $x$, и такая функция также не представляет интереса;
• если $a<0$, возникают проблемы с вычислением значений, например, $(-4)^{\frac12}$, так как это выражение эквивалентно $(-4)^{\frac12}=\sqrt{-4}$ 😕, и его нельзя вычислить в рамках действительных чисел.

Также обратите внимание, что правая часть нашего уравнения $a^x=b$ при этих условиях всегда положительна, так как $a>0$.

Суммируя все вышесказанное, можно дать следующее определение логарифма:

Определение

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$, где $a>0$ и $a \neq 1$, называют показатель степени, в которую надо возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Это определение можно записать следующим образом: $a^x=b \Leftrightarrow \begin{cases} x=\log_ab, \\ a>0, \\ a\neq 1, \\ b>0. \end{cases}$

Примеры

Например, $\log_525-$ это показатель степени, в которую надо возвести число $5$, чтобы получить число $25$. Имеем: $\log_525=2$, поскольку $5^2=25$. Ещё несколько примеров:

• $\log_2{\cfrac{1}{16}}=-4$, так как $2^{-4}=\cfrac{1}{16}$;
• $\log_{36}6=\cfrac12$, так как $36^{\frac12}=6$;
• $\log_{13}13=1$, так как $13^1=13$;
• $\log_{20}1=0$, так как $20^0=1$.

---

Десятичный логарифм

В практике широкое применение получил десятичный логарифм.

Определение

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, который обозначается как $\lg⁡ x$.

Он показывает, в какую степень нужно возвести число 10, чтобы получить заданное значение $x$. Иными словами, $\lg x=\log_{10}x$.

Например, $\lg 100=2$, поскольку $10^2=100$.

---

Примеры

Решение показательных уравнений

Пример №1

Решить уравнение $5^x=9$.

Решение

Из определения логарифма следует, что $x=\log_59$.

Ответ: $x=\log_59$

Пример №2

Решить уравнение $0.3^{3x-4}=7$.

Решение

Имеем: $3x-4=\log_{0.3}{7}$

$3x=\log_{0.3}7+4$

$x=\cfrac{\log_{0.3}{7}+4}{3}$

Ответ: $x=\cfrac{\log_{0.3}{7}+4}{3}$

---

Решение логарифмических уравнений

Пример №1

Решить уравнение $\log_8x=-1$.

Решение

Из определения логарифма следует, что $8^{-1}=x$.

Следовательно, $x=\cfrac18$.

Ответ: $x=\cfrac18$.

Пример №2

Решить уравнение $\log_x5=\cfrac13$.

Решение

Из определения логарифма следует, что $x^{\frac13}=5$ или $\sqrt[3]{x}=5$.

Следовательно, $x=125$.

Ответ: $x=125$.