Умножение многочленов

Правило

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:

• умножить каждый одночлен первого многочлена на каждый одночлен второго многочлена;
• полученные произведения сложить.

Доказательство

Пусть нужно раскрыть скобки в призведении $(a+b)(x-y).$
Введём новую переменную $t=x-y$, тогда получим:

$$(a+b)(x-y)=(a+b)t=at+bt.$$

Вернёмся к исходным переменным:

$$$$

Таким образом,

$$(a+b)(x-y)=ax-ay+bx-by.$$

Обратите внимание

Следует воспринимать знак минус перед одночленом не как операцию вычитания, а как знак самого одночлена. На начальных этапах рекомендуется проговаривать знаки одночленов во время выполнения умножения.

Пример №1

Упростите выражение $(3x-4)(2x+3)-(x-2)(x+5).$
Решение:

$$\begin{gather*} (3x-4)(2x+3)-(x-2)(x+5)= \\ =6x^2+9x-8x-12-(x^2+5x-2x-10)= \\ =\underline{6x^2} + \underline{\underline{9x}} -\underline{\underline{8x}} -12 -\underline{x^2} -\underline{\underline{5x}} +\underline{\underline{2x}} +10 =\\ =5x^2 -2x -2. \end{gather*}$$

Пример №2

Представьте в виде многочлена выражение $(a+2)(a-5)(a+3).$
Решение:

$$\begin{gather*} (a+2)(a-5)(a+3) = \\ = (a^2-5a+2a-10)(a+3) = \\ = (a^2-3a-10)(a+3) = \\ = a^3 +3a^2 - 3a^2 -9a -10a -30 = \\ = a^3 -19a -30 \end{gather*}$$

Пример №3

Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из них на $38$ больше произведения первого и второго.
Решение.
Пусть меньшее из этих чисел равно $x$, тогда три следующих числа будут равны $x+1, x+2, x+3.$
По условию произведение $(x+2)(x+3)$ на $38$ больше, чем произведение $x(x+1)$, значит:

$$\begin{gather*} (x+2)(x+3)-x(x+1)=38; \\ x^2+2x+3x+6-x^2-x=38; \\ 4x=32; \\ x =8. \end{gather*}$$

Ответ: $8, 9, 10, 11.$