Skip to main content

Равносильные уравнения и уравнение-следствие


🔍Что значит решить уравнение

Рассмотрим две функции: y=3x+5y=3x+5 и y=6x+4y=6x+4. Перед нами стоит задача найти такое значение переменной xx, при котором значения обеих функций будут равны. Это означает, что нам нужно решить уравнение: 3x+5=6x+43x+5=6x+4.

Обобщая, можно сказать следующее: если даны две функции y=f(x)y=f(x) и y=g(x)y=g(x), и требуется найти все значения переменной xx, при которых значения функций f(x)f(x) и g(x)g(x) совпадают, то необходимо решить уравнение f(x)=g(x)f(x)=g(x).

✔️ Решение уравнения означает нахождение всех значений переменной xx, при которых левая и правая части уравнения принимают одинаковые значения.


🌍Область определения уравнения

Рассмотрим уравнение x24x2=0\cfrac{x^2-4}{x-2}=0. Заметим, что при x=2x=2 левая часть не имеет смысла, так как на ноль делить нельзя. Все остальные значения для xx подходят. Такое допустимое множество значений называют областью определения уравнения.

Определение

Областью определения уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) называют множество значений переменной xx, при которых имеют смысл обе части уравнения.

Примеры
  • областью определения уравнения x+5xx=0\cfrac{x+5}{|x|-x}=0 является множество {x  x<0}\{x \ | \ x<0\};
  • областью определения уравнения x+4(x2)(x+2)\cfrac{x+4}{(x-2)(x+2)} является множество {x  x±2}\{x \ | \ x\neq \pm 2\}.

🔄Равносильные уравнения

Рассмотрим два уравнения: x2=4x^2=4 и x=2|x|=2. Оба эти уравнения имеют одинаковые корни: 2-2 и 22. В таких случаях говорят, что уравнения x2=4x^2=4 и x=2|x|=2 равносильны.

Определение

Равносильными называются уравнения, которые имеют одно и то же множество решений. Это означает, что каждое решение одного уравнения является решением другого, и наоборот.

❓ Как доказать что уравнения равносильны?

  • Необходимо показать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.
  • Далее, нужно доказать, что каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Примеры равносильных уравнений

  • 12x=0\cfrac12x=0 и 2x=02x=0;
  • 2x=42x=4 и 4x8=04x-8=0;
  • x2=1x^2=1 и (x1)(x+1)=0(x-1)(x+1)=0.
Уравнения, не имеющие решений.

Стоит отметить, что если оба уравнения не имеют решений (то есть их множества решений пусты), такие уравнения также считаются равносильными. Например, уравнения x2=1x^2=-1 и x=3|x|=-3 равносильны, так как оба не имеют решений.


Равносильные преобразования

Определение

Равносильные преобразования — это преобразования, которые позволяют заменить данное уравнение на другое, равносильное ему, то есть уравнение с теми же самыми корнями.

  1. ➕➖Прибавление или вычитание одного и того же числа:

    Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, получим уравнение, равносильное данному.

    Рассмотрим уравнение x+3=7x+3=7. Вычтем 33 из обеих частей уравнения:

x+33=73x+3-3=7-3

Получаем:

x=4x=4

Уравнение x=4x=4 равносильно исходному уравнению x+3=7x+3=7, так как они имеют одно и то же решение.

  1. 🔄Перенос слагаемого с изменением знака:

Если перенести любое слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному.

Пример:

Возьмём уравнение 2x+5=92x+5=9. Перенесём 55 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

2x=952x=9−5

Это упрощается до:

2x=42x=4

Уравнение 2x=42x=4 равносильно исходному уравнению, так как оба имеют одно и то же решение x=2x=2.

  1. ✖️➗Умножение или деление на одно и то же ненулевое число:

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же ненулевое число, получим уравнение, равносильное данному.

Пример: Рассмотрим уравнение 3x=123x=12. Разделим обе части уравнения на 33:

3x3=123\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}

Это упрощается до:

x=4x=4

Уравнение x=4x=4 равносильно исходному уравнению 3x=123x=12, так как они имеют одно и то же решение.

Прибавление (вычитание) переменной

Обратите внимание, что нельзя прибавлять или вычитать к обеим частям уравнения выражение, содержащее переменную, с целью получения равносильного уравнения. В этом случае уравнение может потерять некоторые корни, и полученное уравнение уже не будет равносильным исходному.

Рассмотрим уравнение 1x+2+x2=4+1x+2\cfrac{1}{x+2}+x^2=4+\cfrac{1}{x+2}. Если мы вычтем из обеих частей дробь 1x+2\cfrac{1}{x+2}, то получим уравнение x2=4x^2=4.

❗ Однако уравнение x2=4x^2=4 не равносильно исходному, так как при этом мы потеряли корни, которые могли бы существовать из-за выражения 1x+2\cfrac{1}{x+2}. Например, в исходном уравнении x=2x=−2 делает левую часть неопределённой, но x2=4x^2=4 имеет решение x=2x=2 и x=2x=−2, что что приводит к неправильным выводам о решениях уравнения.


🔄Уравнение-следствие

Определение

Если множество корней одного уравнения содержит множество корней другого уравнения, то первое уравнение называют следствием второго уравнения.

Рассмотрим уравнение x24x+2=0\cfrac{x^2-4}{x+2}=0.

Чтобы решить его, можно рассуждать следующим образом: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

x24=0x^2-4=0

Решая это уравнение, получаем x=±2x=\pm 2. Однако, значение x=2x=-2 не принадлежит области определения исходного уравнения, поскольку приводит к делению на ноль. Поэтому, x=2x=-2 не является решением исходного уравнения. В то же время, x=2x=2 удовлетворяет исходному уравнению и является его единственным корнем.

В данном случае, при решении уравнения x24x+2=0\cfrac{x^2-4}{x+2}=0 мы перешли к уравнению-следствию x24=0x^2-4=0 которое расширяет множество корней. Поэтому важно провести проверку и исключить посторонние корни, которые могут появиться при переходе к уравнению-следствию. Отметим, что иногда посторонних корней может и не быть.

⚠️При решении уравнений важно понимать на каком этапе преобразования была нарушена равносильность и что послужило этому причиной.

Подводя итог, укажем, что множество корней уравнения-следствия:

  • может быть больше, чем множество корней исходного уравнения,
  • может совпадать с множеством корней исходного уравнения,
  • но не может быть меньше множества корней исходного уравнения.

В приведённом выше решении переход к уравнению-следствию был выполнен через приравнивание к нулю числителя дроби. Однако, распространённой ошибкой является приравнивание числителя к нулю без учёта знаменателя.

Запомните:

Равенство дроби нулю

Дробь равна нулю тогда и только тогда , когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.