Skip to main content

Следствия из аксиом стереометрии


Согласно аксиоме проведения плоскости, в пространстве плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Рассмотрим другие методы задания плоскости в пространстве.

Задание плоскости прямой и точкой, которая не лежит на этой прямой

Теорема №1

Через прямую и не принадлежащую её точку проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство

Пусть даны прямая bb и не лежащая на ней точка AA. Докажем, что через прямую bb и точку AA проходит плоскость.

⓵ Отметим на прямой bb две произвольные точки BB и CC. Точки AA, BB и CC не лежат на одной прямой \Rightarrow

\Rightarrow по аксиоме плоскости через точки AA, BB и CC проходит некоторая плоскость α\alpha \Rightarrow

\Rightarrow по аксиоме прямой и плоскости α\alpha принадлежит и прямая aa. \blacksquare

Задание плоскости двумя пересекающимися прямыми

Теорема №2

Через две прямые, которые пересекаются, проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство

Пусть даны две прямые aa и bb, пересекающиеся в точке MM. Докажем, что через прямые aa и bb проходит плоскость.

⓵ Отметим на прямой bb точку CC, отличную от точки MM. Точка CaC \notin a, так как у прямых aa и bb только одна общая точка MM \Rightarrow

\Rightarrow по теореме 1 через точку CC и прямую aa проходит некоторая плоскость γ\gamma. \blacksquare

Способы задания плоскости

Плоскость в пространстве можно задать:

  • тремя точками, которые не лежат на одной прямой;
  • прямой и точкой, которая не лежит на этой прямой;
  • двумя пересекающимися прямыми;
  • двумя параллельными прямыми.

Ресурсы урока