Построение сечений многогранников

---

Что такое сечение

Определение

Секущая плоскость многогранника - плоскость, по обе стороны которой есть точки данного многогранника.

Сечение многогранника – это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, полученные пересечением секущей плоскости.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

Секущую плоскость можно задавать любым из известных нам способов:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• прямой и точкой, не принадлежащей ей;
• двумя пересекающимися прямыми.

Построение сечения многогранника

• Начните с построения точек, где секущая плоскость пересекается с рёбрами многогранника.
• Соедините отрезками каждые две точки пересечения, которые принадлежат одной и той же грани многогранника.
• Многоугольник, образованный соединёнными отрезками, будет сечением многогранника.

---

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда и куба

Пример 1

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1-$ куб. На его ребрах $AD$, $DC$ и $BB_1$ выбраны точки $M,N$ и $K$. Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Решение

1. Продолжим отрезки $MN$ и $AB$, которые лежат в одной и той же плоскости $ABC$, до их пересечения в точке $S$.
   Поскольку $S \in AB$, а $AB \subset (AA_1B)$, то $S \in (AA_1B)$. Следовательно, прямая $KS$ принадлежит плоскости сечения $MNK$ и грани $AA_1B_1B$.
   

2. $SK \cap AA_1 =L$.
   

3. Продолжим прямую $MN$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $F$ 👇.

4. Плоскость сечения $MNK$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $KF$ и пересекает ребро $CC_1$ в точке $P$.
   

5. Многоугольник $KLMNP$ - искомое сечение.

---

Построение сечения пирамиды

Пример 2

Прямая $d$ пересекает боковые рёбра $QA$ и $QB$ тетраэдра $QABC$ в точках $M$ и $N$, точка $K$ принадлежит ребру основания $BC$. Построить сечение пирамиды, которое проходит через прямую $d$ и точку $K$.

Решение

1. Прямая $d$ и $AB$ лежат в одной плоскости $QAB$ и не параллельны. Пусть $S$ - точка их пересечения. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости $ABC$.
   

2. Следовательно, плоскость сечения и плоскость $ABC$ пересекаются по прямой $SK$. Прямая $SK$ пересекает ребро $AC$ в точке $L$.
   
3. Многоугольник $KLMN-$ искомое сечение.