Skip to main content

Аксиомы стереометрии

Определение

Аксиома — это основное утверждение, принимаемое без доказательства и служащее основой для выводов в теории.

Вводя плоскость как основную геометрическую фигуру, нам нужны аксиомы, определяющие её свойства и взаимоотношения с точками и прямыми в пространстве. Рассмотрим три основных аксиомы стереометрии.

Аксиома плоскости

Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Суть аксиомы наглядно демонстрируется на рисунке 👇: существует только одна плоскость, проходящая через точки A,BA, B и C.C.

Исходя из этого, принято обозначать плоскость по трём точкам, которые не лежат на одной прямой. Так, плоскость α\alpha на рисунке можно обозначить как (ABC)(ABC), что читается как "плоскость ABCABC".


Эту аксиому можно иллюстрировать повседневными примерами: журнальный столик на трёх ножках или тренога для камеры устойчивы на полу, так как концы трёх ножек лежат в одной плоскости.



Аксиома прямой и плоскости

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Например, на рисунке точки A,BA,B и CC лежат в плоскости ABCABC. Тогда можно записать AC(ABC)AC\subset (ABC), CB(ABC)CB\subset (ABC).


Эту аксиому применяют на практике для проверки ровности поверхности: прикладывают рейку к разным местам и смотрят наличие зазоров между ней и поверхностью.

Аксиома пересечения плоскостей

Если две плоскости имеют общую точку (пересекаются), то они пересекаются по прямой.

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCDPABCD 👇, и попробуем определить, сколько общих точек имеют плоскости PADPAD и PBCPBC.

На первый взгляд ответ очевиден: одна — точка PP. Однако этот ответ неверен. Чтобы убедиться в этом, приложим согнутый лист бумаги к пирамиде так, чтобы одна его часть лежала на грани PADPAD, а другая — на грани PBCPBC. Ясно, что все точки прямой ll изгиба листа (в том числе и точка PP) являются общими для плоскостей PADPAD и PBCPBC.


На правом рисунке 👆 плоскости α\alpha и β\beta пересекаются по прямой cc . Пишут αβ=c\alpha \cap \beta =c.

Наглядными примерами пересечения двух плоскостей по прямой являются раскрытая книга, стена и пол комнаты.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии?
  2. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость?
  3. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются?
  4. Сформулируйте аксиому плоскости.
  5. Сформулируйте аксиому прямой и плоскости.
  6. Сформулируйте аксиому пересечения плоскостей.
  7. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?