Степени. Задачи олимпиадного уровня

Задачи (свойства степени)

1. Сколько цифр в десятичной записи числа $10^{1000}$?
2. Сколько цифр в десятичной записи числа $2^{20}$?
3. Представьте число $9$ в виде дроби, числитель которой является девятой степенью натурального числа, а знаменатель - десятой.
4. Сколько цифр в десятичной записи числа $2^{100}$?
5. Какое из чисел больше: $\dfrac{10^{10}+1}{10^{11}+1}$ или $\dfrac{10^{11}+1}{10^{12}+1}$?
6. Существует ли такое натуральное число, при умножении которого на $2$ будет получен квадрат натурального числа, при умножении на $3$ - куб натурального числа, при умножении на $5$ - пятая степень натурального числа?