Перейти к основному содержимому

Определение логарифма


Что такое логарифм

Если нужно решить уравнение 2x=42^x=4, то легко можно найти, что x=2x=2. Но как найти решение уравнения 2x=52^x=5?🤔 И существует ли оно вообще?

Если решение кажется сложным или неочевидным, полезно воспользоваться графическим методом.

На рисунке изображены графики функций y=2xy=2^x и y=5y=5. Они пересекаются в одной точке. Это значит, что наше уравнение имеет решение ✅. Однако графический метод не позволяет точно определить значение этого корня. Мы можем лишь сказать, что он находится между числами 22 и 33.

Корень уравнения 2x=52^x=5 договорились называть логарифмом числа 5 по основанию 2 и обозначать log25\log_2{5}. Значит, число log25\log_2{5} - это показатель степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 5 🎯.


Свойства показательных функций

К понятию логарифма мы приходим, когда решаем уравнения вида ax=ba^x=b. Левую часть такого уравнения можно рассматривать как показательную функцию y=axy=a^x. Для работы с этой функцией нужно учитывать следующие важные моменты:

  • aa не может быть равно 11, потому что 1x=11^x=1. В этом случае функция становится постоянной, то есть не зависит от xx, и перестаёт быть показательной;
  • aa не может быть равно 00, потому что 0x=00^x=0 для любого положительного xx, и такая функция также не представляет интереса;
  • если a<0a<0, возникают проблемы с вычислением значений, например, (4)12(-4)^{\frac12}, так как это выражение эквивалентно (4)12=4(-4)^{\frac12}=\sqrt{-4} 😕, и его нельзя вычислить в рамках действительных чисел.

Также обратите внимание, что правая часть нашего уравнения ax=ba^x=b при этих условиях всегда положительна, так как a>0a>0.

Суммируя все вышесказанное, можно дать следующее определение логарифма:

Определение

Логарифмом положительного числа bb по основанию aa, где a>0a>0 и a1a \neq 1, называют показатель степени, в которую надо возвести число aa, чтобы получить число bb.

Это определение можно записать следующим образом: ax=b{x=logab,a>0,a1,b>0.a^x=b \Leftrightarrow \begin{cases} x=\log_ab, \\ a>0, \\ a\neq 1, \\ b>0. \end{cases}

Примеры

Например, log525\log_525- это показатель степени, в которую надо возвести число 55, чтобы получить число 2525. Имеем: log525=2\log_525=2, поскольку 52=255^2=25. Ещё несколько примеров:

  • log2116=4\log_2{\cfrac{1}{16}}=-4, так как 24=1162^{-4}=\cfrac{1}{16};
  • log366=12\log_{36}6=\cfrac12, так как 3612=636^{\frac12}=6;
  • log1313=1\log_{13}13=1, так как 131=1313^1=13;
  • log201=0\log_{20}1=0, так как 200=120^0=1.

Десятичный логарифм

В практике широкое применение получил десятичный логарифм.

Определение

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, который обозначается как lgx\lg⁡ x.

Он показывает, в какую степень нужно возвести число 10, чтобы получить заданное значение xx. Иными словами, lgx=log10x\lg x=\log_{10}x.

Например, lg100=2\lg 100=2, поскольку 102=10010^2=100.


Примеры

Решение показательных уравнений

Решить уравнение 5x=95^x=9.

Из определения логарифма следует, что x=log59x=\log_59.

Ответ: x=log59x=\log_59


Решение логарифмических уравнений

Решить уравнение log8x=1\log_8x=-1.

Из определения логарифма следует, что 81=x8^{-1}=x.

Следовательно, x=18x=\cfrac18.

Ответ: x=18x=\cfrac18.