Свойства степени с натуральным показателем

Основное свойство степени

Теорема

Для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:

Доказательство теоремы

1)

2)

3)

Пример №1

Представить в виде степени произведение:

Решение:

Пример №2

Представить в виде степени произведение:

Решение:

Пример №3

Представить в виде степени произведение:

Решение:

Правило

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а основание оставляют прежним.

Деление степеней с одинаковым основанием

Теорема

Для любого числа $a$, отличного от нуля, и любых натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что $m > n$ справедливо равенство:

Доказательство теоремы

1. Рассмотрим произведение . По основному свойству степени получим:

2. Итак, , а это означает (по определению частного), что

Пример №1

Представить в виде степени частное:

Решение:

Пример №2

Представить в виде степени частное:

Решение:

Пример №3

Найти значение выражения:

Решение:

Правило

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитают показатель делителя.

Будьте внимательны

В расмотренных теоремах (правилах) речь идёт только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А для сложения и вычитания степеней таких правил нет. Нельзя, например, заменить сумму $3^2+3^3$ на $3^5$. Достаточно посчитать, чтобы убедиться в этом: $3^2=9$, $3^3=27$, а $3^5=243$.

Возведение степени в степень

Теорема

Для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:

Доказательство теоремы

Пример №1

Представьте в виде степени с основанием выражение:

Решение:

Пример №2

Представьте в виде степени с основанием выражение:

Решение:

Пример №3

Представьте в виде степени с основанием выражение:

Решение:

Правило

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Возведение произведения в степень

Теорема

Для любых чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n$ справедливо равенство:

Доказательство теоремы

Пример №1

Представьте в виде произведения степеней:

Решение:

Пример №2

Представьте в виде произведения степеней:

Решение:

Пример №3

Представьте в виде произведения степеней:

Решение:

Правило

При возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают.

Вопросы для самоконтроля

1. Как умножить степени с одинаковым основанием?
2. Как разделить степени с одинаковым основанием?
3. Как возвести степень в степень?
4. Как возвести произведение в степень?
5. Запишите тождество, выражающее основное свойство степени.