Теорема Виета

Подобно формулам сокращенного умножения, теорема Виета позволяет уменьшить "трудозатраты" при решении квадратных уравнений. На практике теорема Виета в основном используется для приведённых квадратных уравнений.

Приведённое квадратное уравнение

Определение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведённым.

Например, уравнение $x^2+4x-6=0$ является приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение можно "превратить" в приведённое разделив его на старший коэффициент

Например, уравнение делением на приводится к виду
В общем виде получаем:

Затем избавляемся от дробных коэффициентов заменив их буквами и и получаем общепринятый вид приведённого квадратного уравнения:

Во многих учебниках используется именно такая форма записи, однако не будет ошибкой, если в рассуждениях мы будем указывать, что и использовать привычные нам коэффициенты и

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Теорема

Если $x_1$ и $x_2 -$ корни приведённого уравнения $x^2+bx+c=0$, то справедливы формулы: $\begin{cases} x_1 \cdot x_2 =c, \\ x_1+x_2 =-b \end{cases}$

Сумма корней приведённого квадартного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство

В условии теоремы сказано, что и - корни уравнения, следовательно его дискриминант Запишем формулы корней квадратного уравнения:

Учитывая, что , запишем сумму корней:

Запишем произведение корней:

Ещё раз обратите внимание: мы учитываем, что , то есть доказываем теорему только для приведённого уравнения.

Примеры решения задач

Задача №1

Один из корней уравнения равен . Найти второй корень этого уравнения.

Решение

По теореме Виета . Так как , то , откуда

Ответ:

Задача №2

Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого

Решение

Так как корни уравнения , то по теореме Виета

Ответ:

Теорема, обратная теореме Виета

Теорема

Если числа $\alpha$ и $\beta$ таковы, что $\alpha + \beta = -b$ и $\alpha \cdot \beta = c$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0.$

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь формулами корней.

Доказательство

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение
Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так:

Числа и "кандидаты в корни" уравнения. Подставим в полученное уравнение вместо сначала число , затем число . Получим:

Следовательно, числа и корни нашего уравнения.

Пример №1

Решить устно уравнение

Решение

Подберем два числа и так, чтобы

Заметив, что , по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что - корни уравнения.

Ответ:

Пример №2

Решить устно уравнение

Решение

Подберем два числа и так, чтобы

Заметив, что , по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что - корни уравнения.

Ответ:

Пример №3

Решить устно уравнение

Решение

Подберем два числа и так, чтобы

Заметив, что , по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что - корни уравнения.

Ответ:

осторожно

Во избежание различных недоразумений, которые иногда возникают (например, здесь) при использовании теоремы Виета, в оформлении решения лучше указывать на какую теорему (прямую или обратную) мы ссылаемся.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое квадратное уравнение называют приведенным?
2. Сформулируйте теорему Виета.
3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Ресурсы

Презентация для работы на уроке