Линейные неравенства с параметром (подготовка)

№1

Решить систему неравенств
$\begin{cases} x>a,\\x>5. \end{cases}$

Решение

Рассмотрим ряд случаев:

1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то .

№2

Решить систему неравенств
$\begin{cases} x\leq a,\\x<3. \end{cases}$

Решение

Рассмотрим ряд случаев:

1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то .

№3 (система с условием)

При каких значениях $a$ промежуток $[5;+\infty)$ принадлежит множеству решений системы $\begin{cases} x >3,\\x\geq a. \end{cases}$

Решение

1. Если , то . Промежуток принадлежит множеству решений.

2. Если , то . В этом случае промежуток будет принадлежать множеству решений только если

№4

Решить систему неравенств $\begin{cases} x \geq 3,\\x\leq 2-a. \end{cases}$

Решение

Выясним при каких значениях выражение равно . Получаем
Рассмотрим ряд случаев:

1) тогда

2) тогда Система решений не имеет.

3) тогда

№5 (Аналитический метод решения с графической интерпретацией ответа)

Решить систему неравенств $\begin{cases} x > 2a+5,\\x > 4a+1. \end{cases}$

Решение

Выясним при каких значениях выражения и равны.

Рассмотрим три случая:
1. то есть

2. тогда

3. тогда

Графический метод решения

Проиллюстрируем ответ в системе координат

Пользуясь осью ответа и графической интерпретацией ответа, проанализируем множество решений системы.

1. Какие значения может принимать , если принимает только положительные значения?
2. При каких значениях переменная принимает значения только большие ?
3. При каких значениях любое удовлетворяет системе неравенств?
4. При каких значениях ни одно из чисел не удовлетворяет системе неравенств?

№6 (Графический метод решения)

Решите систему неравенств $\begin{cases} -2<x<4a+1,\\x <2a+6. \end{cases}$

Решение

Решим систему графически в системе координат .

1) Строим графики функций Прямые на рисунке - пунктирные, поскольку неравенства системы строгие.

Каждая из прямых делит плоскость на две полуплоскости.
Стрелками указаны полуплоскости, координаты каждой из которых удовлетворяют соответствующему неравенству ( ). Пересечение данных полуплоскостей удовлетворяет данной системе неравенств.

2. Найдем координаты точки (точка пересечения прямых и ) и точки (точка пересечения прямых и ):

3. Заполним ось ответа: