Перейти к основному содержимому

Вписанный четырёхугольник

Какой четырехугольник называют вписанным?​

Определение

Вписанный четырёхугольник - это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности.

В этом случае окружность называется описанной.

не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность

обратите внимание!
  • около любого треугольника можно описать окружность;
  • не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность.

Свойство и признак вписанного четырехугольника​

теорема (свойство)

Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 1800.180^0.

свойство вписанного четырехугольника

Пусть четырёхугольник вписан в окружность. Докажем, что
Так как углы и являются вписанными, то ◡ и ◡ (свойство вписанного угла).
Сумма этих дуг составляет окружность: ◡ +◡ Из этого следует, что
Аналогично:

Распознать четырёхугольники, около которых можно описать окружность, позволяет следующая теорема.

теорема (признак)

Если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 1800180^0, то он является вписанным в окружность.

признак вписанного четырехугольника

Пусть в четырехугольнике сумма противолежащих углов

признак вписанного четырёхугольника

Предположим, что около четырёхугольника нельзя описать окружность.Тогда опишем окружность около треугольника , в таком случае точка будет лежать вне или внутри этой окружности. Пусть она лежит вне её.

Тогда прямая пересекает окружность в другой точке; пусть в точке . Значит четырёхугольник является вписанным и

Из равенств и заключаем, что , но этого не может быть так является внешним углом треугольника и большего любого не смежного с ним, в частности


Обе теоремы можно сформулировать в виде одной теоремы:

теорема

Для того чтобы четырёхугольник был вписанным в окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов была равна 1800180^0.

необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника
Следствия из теоремы
  • Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
  • Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат.
  • Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная

Вопросы для самоконтроля​

  1. Какой четырёхугольник называют вписанным?
  2. В каком случае говорят, что окружность описана около четырёхугольника?
  3. Каким свойством обладают углы вписанного четырёхугольника?
  4. При каком условии четырёхугольник является вписанным?

Ресурсы​

Задачи I и II уровня сложности
Задачи III уровня сложности