Четыре точки на окружности

Всегда ли четыре точки лежат на окружности?

Как известно, около любого треугольника можно провести окружность, следовательно, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. А вот четыре точки не всегда принадлежат одной окружности, так как не любой четырёхугольник можно вписать в окружность.

принадлежность точек окружности

Для ответа на вопрос о принадлежности четырех точек окружности необходимы признаки, которыми несложно пользоваться, если рассматривать точки как вершины четырёхугольника.

точки как вершины многоугольника

Признак принадлежности четырёх точек окружности

признаки

Четыре точки $A,B,C,D$ принадлежат данной окружности, если для них, как для вершин четырёхугольника $ABCD$, выполняется любое равенство:

1. $\angle A +\angle C =180^0$ (признак вписанного четырёхугольника).
2. $\angle ACB = \angle ADB$ (отрезок $AB$ виден под одним углом из двух точек).

признак принадлежности точек окружности

Обратите внимание

Признак №2 во многих источниках формулируется таким образом:
"если отрезок $AB$ из двух точек $C$ и $D$, лежащих по одну сторону от прямой $AB$, виден под одним углом (т. е. углы $ACB$ и $ADB$ равны), то точки $A,B,C$ и $D$ лежат на одной окружности."

Доказательство признака

доказательстов признака принадлежности четырёх точек окружности

Пусть . Докажем, что точки и принадлежат одной окружности.

Около треугольника опишем окружность. Пусть произвольная точка окружности, тогда четырёхугольник вписанный.

Отсюда .

Имеем: , следовательно, четырёхугольник тоже вписан в окружность и точка принадлежит этой окружности.

Метод вспомогательной окружности

Если при решении задачи удается "увидеть" окружность проходящую через четыре точки, а затем доказать этот факт с помощью признаков, то мы получаем возможность использовать свойства окружности (особенно вписанных углов). Рассмотрим этот метод в задачах.

Задача №1

Дан прямоугольный треугольник $ABC (𝐶=90^0)$. Из произвольной точки $𝑁$ катета $𝐶𝐵$ опущен перпендикуляр $𝑁𝐻$ на гипотенузу $𝐴𝐵$. Докажите, что $\angle 𝑁𝐻𝐶=\angle 𝑁𝐴𝐶$.

Идея

Доказать, что четырехугольник является вписанным и рассмотреть описанную около него окружность.

Решение

проведем вспомогательную окружность

Рассмотрим четырёхугольник . Сумма противолежащих углов: . Следовательно, этот четырёхугольник можно вписать в окружность (признак ).
Углы и являются вписанными, опирающимися на одну и ту же дугу , следовательно, .

Вспомогательная окружность и высоты треугольника

Пусть высоты $AA_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, тогда можно провести две вспомогательные окружности:

• окружность через точки $H, C_1, B$ и $A_1$.

• окружность через точки $A,C_1, A_1$ и $C$.

Ресурсы

Метод вспомогательной окружности всегда подразумевает вписанный четырёхугольник, поэтому для закрепления этой темы решайте задачи блока "Вписанный четырёхугольник"