Skip to main content

Наименьшее общее кратное


Что такое наименьшее общее кратное

Выпишем числа, кратные 3636 и 48:48:

Среди этих чисел есть общие для обоих рядов (выделены цветом):

{144,288,432,...}\{144,288,432,...\}

Это общие кратные чисел 3636 и 4848.
Наименьшим среди них является число 144144. Это - наименьшее общее кратное двух чисел 3636 и 4848.


Определение

Наименьшим общим кратным двух чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел.
Наименьшее общее кратное чисел mm и nn обозначается так: НОК(m;n)\textbf{НОК(m;n)}.


Как найти наименьшее общее кратное

Способ №1

Правило

Чтобы найти НОК двух чисел:

  1. разложите данные числа на простые множители;
  2. запишите разложение одного из данных чисел;
  3. допишите к этому разложению такие множители из разложения другого числа, которые ещё не вошли в произведение;
  4. вычислите полученное произведение.

Обратите внимание, что числа 33 и 55, выделенные зеленым цветом, не имеют соответствующей пары, поэтому мы дописываем их к разложению первого числа.

Способ №2

Если числа небольшие, то находить НОК можно другим способом.
Например, найдём НОК(15;12)\text{НОК}(15;12).
Большее из чисел 1515. Выписывая кратные этого числа, определим их делимость (+\textcolor{red}{\textbf{+}}) или неделимость (-\textcolor{red}{\textbf{-}}) на 12 ⁣:12\!:


Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел

Пример

Найти наименьшее общее кратное чисел 88 и 15.15.
Решение:
8=222;8=\textcolor{red}{2\cdot 2\cdot 2};
15=35;15 = \textcolor{green}{3 \cdot 5};
НОК(8;15)=22235=120.\text{НОК}(8;15)=\textcolor{red}{2\cdot 2 \cdot 2} \textcolor{green}{\cdot 3 \cdot 5} =120.

Числа 88 и 1515 -взаимно простые. Найти их наименьшее общее кратное можно, воспользовавшись правилом.

Правило

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.


Вопросы для самоконтроля

  1. Какое число называется общим кратным двух чисел?
  2. Какое число называют наименьшим общим кратным двух чисел?
  3. Как можно найти НОК двух натуральных чисел, используя их разложение на простые множители?
  4. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Калькулятор: наименьшее общее кратное


Ресурсы урока

Наименьшее общее кратное (работа на уроке)