Наибольший общий делитель

---

Что такое наибольший общий делитель

Выпишем все делители чисел $24$ и $90$:

Общие делители чисел $24$ и $90$ выделены кружком, причём делитель $6$ является наибольшим среди них.

Определение

Наибольшим общим делителем двух чисел называется наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.
Наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ обозначается так: $\textbf{НОД(m;n)}$.

---

Как найти наибольший общий делитель

Правило

Чтобы найти НОД двух чисел:

1. разложите данные числа на простые множители;
2. найдите произведение общих простых делителей данных чисел.

Например, найдём $\text{НОД}(180;240).$ Одинаковым цветом выделены общие простые делители.

---

Что такое взаимно простые числа

Найдём $\text{НОД}(15;46).$
Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$46 = 2 \cdot 23$
У составных чисел $15$ и $46$ нет общих простых делителей, их единственный общий делитель $1$. Значит $\text{НОД}(15,46)=1.$ Такие числа называют взаимно простыми.

Определение

Взаимно простые числа - это числа, у которых единица является наибольшим общим делителем.

Примеры взаимно простых чисел: $14$ и $15$; $20$ и $27$; $12$ и $35$.

Обратите внимание

Любые два простых числа являются взаимно простыми числами.
Например, $\text{НОД}(17;43)=1$, $\text{НОД}(11;19)=1.$

---

Взаимно простые числа и признаки делимости

Рассмотрим утверждение, которое позволяет сформулировать новые признаки делимости.

Свойство

Если $a$ делится на взаимно простые числа $m$ и $n$, то $a$ делится на их произведение $m \cdot n$.
Если же числа $m$ и $n$ не являются взаимно простыми, то из делимости числа $a$ на $m$ и $n$ не следует делимость числа $a$ на произведение $m \cdot n$.

Как это работает?

Выведем признак делимости на $6$. Как известно, $6=2\cdot 3$, причём числа $2$ и $3$ являются взаимно простыми. Значит, чтобы число $n$ делилось на $6$, достаточно, чтобы $n$ делилось на $2$ и на $3$.

Пример №1

Известно, что число $n$ делится на $5$ и $7$. Верно ли, что число $n$ делится на $35?$

Решение

Верно.
Числа $5$ и $7$ являются взаимно простыми, следовательно, число $n$ будет делится на произведение $5\cdot 7$

Пример №2

Известно, что число $n$ делится на $4$ и $6$. Верно ли, что число $n$ делится на $24?$

Решение

Неверно.
Числа $4$ и $6$ не являются взаимно простыми, следовательно, число $n$ не обязательно должно делиться на $24$. Например, число $36$.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое число называют наибольшим общим делителем двух чисел?
2. Как можно найти НОД двух натуральных чисел, используя их разложение на простые множители?
3. Какие числа называют взаимно простыми?

---

Калькулятор: наибольший общий делитель

Ресурсы урока

Лист для работы на уроке
Лист для домашней работы