Следствия из аксиом стереометрии

Согласно аксиоме проведения плоскости, в пространстве плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Рассмотрим другие методы задания плоскости в пространстве.

Задание плоскости прямой и точкой, которая не лежит на этой прямой

Теорема №1

Через прямую и не принадлежащую её точку проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство

Пусть даны прямая $b$ и не лежащая на ней точка $A$. Докажем, что через прямую $b$ и точку $A$ проходит плоскость.

⓵ Отметим на прямой $b$ две произвольные точки $B$ и $C$. Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой $\Rightarrow$

⓶ $\Rightarrow$ по аксиоме плоскости через точки $A$, $B$ и $C$ проходит некоторая плоскость $\alpha$ $\Rightarrow$

⓷ $\Rightarrow$ по аксиоме прямой и плоскости $\alpha$ принадлежит и прямая $a$. $\blacksquare$

Задание плоскости двумя пересекающимися прямыми

Теорема №2

Через две прямые, которые пересекаются, проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$. Докажем, что через прямые $a$ и $b$ проходит плоскость.

⓵ Отметим на прямой $b$ точку $C$, отличную от точки $M$. Точка $C \notin a$, так как у прямых $a$ и $b$ только одна общая точка $M$ $\Rightarrow$

⓶ $\Rightarrow$ по теореме 1 через точку $C$ и прямую $a$ проходит некоторая плоскость $\gamma$. $\blacksquare$

Способы задания плоскости

Плоскость в пространстве можно задать:

• тремя точками, которые не лежат на одной прямой;
• прямой и точкой, которая не лежит на этой прямой;
• двумя пересекающимися прямыми;
• двумя параллельными прямыми.

Ресурсы урока

Видеоурок