Следствия из аксиом стереометрии

Согласно аксиоме проведения плоскости, в пространстве плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Рассмотрим другие методы задания плоскости в пространстве.

Теорема №1

Через прямую и не принадлежащую её точку проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство

Пусть даны прямая $b$ и не лежащая на ней точка $A$ . Докажем, что через прямую $b$ и точку $A$ проходит плоскость.

⓵ Отметим на прямой $b$ две произвольные точки $B$ и $C$ . Точки $A$ , $B$ и $C$ не лежат на одной прямой $\Rightarrow$

⓶ $\Rightarrow$ по аксиоме плоскости через точки $A$ , $B$ и $C$ проходит некоторая плоскость $\alpha$ $\Rightarrow$

⓷ $\Rightarrow$ по аксиоме прямой и плоскости $\alpha$ принадлежит и прямая $a$ . $\blacksquare$

Теорема №2

Через две прямые, которые пересекаются, проходит плоскость и притом только одна.

Доказательство

Пусть даны две прямые $a$ и $b$ , пересекающиеся в точке $M$ . Докажем, что через прямые $a$ и $b$ проходит плоскость.

⓵ Отметим на прямой $b$ точку $C$ , отличную от точки $M$ . Точка $C \notin a$ , так как у прямых $a$ и $b$ только одна общая точка $M$ $\Rightarrow$

⓶ $\Rightarrow$ по теореме 1 через точку $C$ и прямую $a$ проходит некоторая плоскость $\gamma$ . $\blacksquare$

Плоскость в пространстве можно задать: