Аксиомы стереометрии

Определение

Аксиома — это основное утверждение, принимаемое без доказательства и служащее основой для выводов в теории.

Вводя плоскость как основную геометрическую фигуру, нам нужны аксиомы, определяющие её свойства и взаимоотношения с точками и прямыми в пространстве. Рассмотрим три основных аксиомы стереометрии.

Аксиома плоскости

Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Суть аксиомы наглядно демонстрируется на рисунке 👇: существует только одна плоскость, проходящая через точки $A, B$ и $C.$

Исходя из этого, принято обозначать плоскость по трём точкам, которые не лежат на одной прямой. Так, плоскость $\alpha$ на рисунке можно обозначить как $(ABC)$, что читается как "плоскость $ABC$".

Эту аксиому можно иллюстрировать повседневными примерами: журнальный столик на трёх ножках или тренога для камеры устойчивы на полу, так как концы трёх ножек лежат в одной плоскости.

Аксиома прямой и плоскости

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Например, на рисунке точки $A,B$ и $C$ лежат в плоскости $ABC$. Тогда можно записать $AC\subset (ABC)$, $CB\subset (ABC)$.

Эту аксиому применяют на практике для проверки ровности поверхности: прикладывают рейку к разным местам и смотрят наличие зазоров между ней и поверхностью.

Аксиома пересечения плоскостей

Если две плоскости имеют общую точку (пересекаются), то они пересекаются по прямой.

Рассмотрим четырехугольную пирамиду $PABCD$ 👇, и попробуем определить, сколько общих точек имеют плоскости $PAD$ и $PBC$.

На первый взгляд ответ очевиден: одна — точка $P$. Однако этот ответ неверен. Чтобы убедиться в этом, приложим согнутый лист бумаги к пирамиде так, чтобы одна его часть лежала на грани $PAD$, а другая — на грани $PBC$. Ясно, что все точки прямой $l$ изгиба листа (в том числе и точка $P$) являются общими для плоскостей $PAD$ и $PBC$.

На правом рисунке 👆 плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ . Пишут $\alpha \cap \beta =c$.

Наглядными примерами пересечения двух плоскостей по прямой являются раскрытая книга, стена и пол комнаты.

Примеры

Пример №1

Дана прямая $c$ и плоскость $\alpha$. Каким может быть $c \cap \alpha$?

Решение

• если прямая не имеет общих точек с плоскостью , то ;
• если прямая пересекает плоскость в точке , то ;
• если прямая лежит в плоскости , то

Пример №2

На сколько частей могут разделить пространство три разные плоскости?

Решение

Если ни одна из трёх данных плоскостей не имеет общих точек, то они разделяют пространство на 4 части.

В других случаях три плоскости могут делить пространство на 6, 7 или 8 частей.

Пример №3

Какие записи правильные (рисунок 👇):

а) $a \in \alpha$; б) $A \in \alpha$; в) $b \in \beta$; г) $B \subset \beta$?

Решение

б) - правильно;
а), в) г) - нет. Следует писать: а) , в) ; г) .

Вопросы для самоконтроля

1. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии?
2. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость?
3. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются?
4. Сформулируйте аксиому плоскости.
5. Сформулируйте аксиому прямой и плоскости.
6. Сформулируйте аксиому пересечения плоскостей.
7. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Ресурсы урока

Видеоурок