Построение сечений многогранников

Что такое сечение

Определение

Секущая плоскость многогранника - плоскость, по обе стороны которой есть точки данного многогранника.

Сечение многогранника – это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, полученные пересечением секущей плоскости.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

Секущую плоскость можно задавать любым из известных нам способов:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• прямой и точкой, не принадлежащей ей;
• двумя пересекающимися прямыми.

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника. Затем каждые две такие точки, принадлежащие одной и той же грани, соединить отрезками. Многоугольник, полученный таким образом, будет сечением многогранника.

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда и куба

Пример 1

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1-$ куб. На его ребрах $AD$, $DC$ и $BB_1$ выбраны точки $M,N$ и $K$. Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Решение

1) Продолжим отрезки и , которые лежат в одной и той же плоскости , до их пересечения в точке .
Поскольку , а , то . Следовательно, прямая принадлежит плоскости сечения и грани .
2) .

3) Продолжим прямую до пересечения с прямой в точке 👇.
4) Плоскость сечения пересекает грань по прямой и пересекает ребро в точке .

5) Многоугольник - искомое сечение.

Построение сечения пирамиды

Пример 2

Прямая $d$ пересекает боковые рёбра $QA$ и $QB$ тетраэдра $QABC$ в точках $M$ и $N$, точка $K$ принадлежит ребру основания $BC$. Построить сечение пирамиды, которое проходит через прямую $d$ и точку $K$.

Решение

1) Прямая и лежат в одной плоскости и не параллельны. Пусть - точка их пересечения. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости .

2) Следовательно, плоскость сечения и плоскость пересекаются по прямой . Прямая пересекает ребро в точке .
3) Многоугольник искомое сечение.