Перейти к основному содержимому

Основное свойство дроби


Что нужно повторить:


На рисунке одинаковые прямоугольники поделены на две, четыре и восемь равных частей.


Дроби 12,24\dfrac12, \dfrac24 и 48\dfrac48 выражают половину равных прямоугольников, значит:

12=24=48.\dfrac12 = \dfrac24=\dfrac48.

Эту цепочку равенств можно записать иначе: 12=1222=1424.\dfrac12 = \dfrac{1\cdot \textcolor{red}{2}}{2 \cdot \textcolor{red}{2}}=\dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{2 \cdot \textcolor{red}{4}}.

основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.

km=knmn,\dfrac{k}{m} = \dfrac{k \cdot \textcolor{red}{n}}{m \cdot \textcolor{red}{n}},

где k,mk, m и nn - натуральные числа.


обратите внимание

Дроби 12,24\dfrac12, \dfrac24 и 48\dfrac48 равны.
Это не разные дроби, а различные записи одной и той же дроби 12.\dfrac12.


Сокращение дробей

Сравните части фигур на рисунке.


Эти части выражают половину круга, значит дроби 816,48,24\dfrac{8}{16}, \dfrac48, \dfrac24 и 12\dfrac12 равны между собой.


сокращение дроби

Сокращение дроби - это деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.
В этом случае значение дроби не изменится и будет равно исходной дроби:

a÷nb÷n=ab,\dfrac{a \div \textcolor{red}{n}}{b \div \textcolor{red}{n}} = \dfrac{a}{b},

где nn - общий делитель.


Равенство 3048=5686=58\dfrac{30}{48}=\dfrac{5\cdot 6}{8 \cdot 6}=\dfrac58 получается в результате деления числителя и знаменателя дроби на общий множитель 66.


определение

Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой - взаимно простые числа.

Сократить дробь 75100\dfrac{75}{100}

Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель 25 ⁣:25\!:



Способы сокращения дробей

Сократить дробь 384512\dfrac{384}{512}

I-ый шаг. Находим наибольший общий делитель НОД(384;512) ⁣:\text{НОД(384;512)}\!:
384=273,512=28384=2^7 \cdot 3, 512 = 2^8, значит, НОД(384; 512)=27=128.\text{НОД(384; 512)} =2^7=128.

II-ой шаг. Делим числитель и знаменатель на НОД(384;512)=128\text{НОД(384;512)} =128

Вопросы для самоконтроля