Основное свойство дроби

---

Что нужно повторить:

• Наибольший общий делитель
  
• Взаимно простые числа

---

На рисунке одинаковые прямоугольники поделены на две, четыре и восемь равных частей.

Дроби $\dfrac12, \dfrac24$ и $\dfrac48$ выражают половину равных прямоугольников, значит:

Эту цепочку равенств можно записать иначе:

основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.

где и - натуральные числа.

обратите внимание

Дроби и равны.
Это не разные дроби, а различные записи одной и той же дроби

---

Сокращение дробей

Сравните части фигур на рисунке.

Эти части выражают половину круга, значит дроби $\dfrac{8}{16}, \dfrac48, \dfrac24$ и $\dfrac12$ равны между собой.

сокращение дроби

Сокращение дроби - это деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.
В этом случае значение дроби не изменится и будет равно исходной дроби:

где - общий делитель.

Равенство $\dfrac{30}{48}=\dfrac{5\cdot 6}{8 \cdot 6}=\dfrac58$ получается в результате деления числителя и знаменателя дроби на общий множитель $6$.

определение

Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой - взаимно простые числа.

Пример №1

Сократить дробь

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель

Пример №2

Найти значение выражения:

Решение

Способы сокращения дробей

Полное сокращение (поиск НОД)

Сократить дробь

I-ый шаг. Находим наибольший общий делитель
, значит,

II-ой шаг. Делим числитель и знаменатель на

Последовательное сокращение

Сократить дробь

Делим числитель и знаменатель дроби на делители до получения несократимой дроби.

Вопросы для самоконтроля