Основное свойство дроби

---

Что нужно повторить:

• Наибольший общий делитель
  
• Взаимно простые числа

---

На рисунке одинаковые прямоугольники поделены на две, четыре и восемь равных частей.

Дроби $\dfrac12, \dfrac24$ и $\dfrac48$ выражают половину равных прямоугольников, значит:

$$\dfrac12 = \dfrac24=\dfrac48.$$

Эту цепочку равенств можно записать иначе: $\dfrac12 = \dfrac{1\cdot \textcolor{red}{2}}{2 \cdot \textcolor{red}{2}}=\dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{2 \cdot \textcolor{red}{4}}.$

основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.

$$\dfrac{k}{m} = \dfrac{k \cdot \textcolor{red}{n}}{m \cdot \textcolor{red}{n}},$$

где $k, m$ и $n$ - натуральные числа.

обратите внимание

Дроби $\dfrac12, \dfrac24$ и $\dfrac48$ равны.
Это не разные дроби, а различные записи одной и той же дроби $\dfrac12.$

---

Сокращение дробей

Сравните части фигур на рисунке.

Эти части выражают половину круга, значит дроби $\dfrac{8}{16}, \dfrac48, \dfrac24$ и $\dfrac12$ равны между собой.

сокращение дроби

Сокращение дроби - это деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.
В этом случае значение дроби не изменится и будет равно исходной дроби:

$$\dfrac{a \div \textcolor{red}{n}}{b \div \textcolor{red}{n}} = \dfrac{a}{b},$$

где $n$ - общий делитель.

Равенство $\dfrac{30}{48}=\dfrac{5\cdot 6}{8 \cdot 6}=\dfrac58$ получается в результате деления числителя и знаменателя дроби на общий множитель $6$.

определение

Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой - взаимно простые числа.

Пример №1

Сократить дробь $\dfrac{75}{100}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель $25\!:$

Пример №2

Найти значение выражения: $\dfrac{14 \cdot 9}{15 \cdot 7};$

Решение

Способы сокращения дробей

Полное сокращение (поиск НОД)

Сократить дробь $\dfrac{384}{512}$

I-ый шаг. Находим наибольший общий делитель $\text{НОД(384;512)}\!:$
$384=2^7 \cdot 3, 512 = 2^8$, значит, $\text{НОД(384; 512)} =2^7=128.$

II-ой шаг. Делим числитель и знаменатель на $\text{НОД(384;512)} =128$

Последовательное сокращение

Сократить дробь $\dfrac{120}{168}$

Делим числитель и знаменатель дроби на делители до получения несократимой дроби.

Вопросы для самоконтроля