Свойства делимости чисел

---

Определение делимости чисел

Натуральное число можно представить в виде произведения любого из его делителей на натуральное число, например:

$$8=8\cdot 1,\quad 8 = 1 \cdot 8,\quad 8 = 2\cdot 4,\quad 8= 4 \cdot 2.$$

С помощью этого свойства можно дать определение делимости.

Определение

Число $a$ делится на натуральное число $d$, если $a=d \cdot b$, где $b -$ натуральное число или ноль.
Число $d$ в этом случае называют делителем числа $a$.

---

Свойства делимости чисел

Делимость произведения

Будет ли делиться произведение $24 \cdot 17$ на $4$?
Число $24$ делится на $4$, а так как $24 \cdot 17 = (4\cdot 6)\cdot 17=4\cdot(6 \cdot 17)$, то произведение $24 \cdot 17$ тоже делится на $4$.

Делимость произведения

Произведение делится на число, если хотя бы один из множителей делится на это число.

---

Делимость суммы

Пример №1

Число $63$ делится на $21$, так как $63=21 \cdot 3$;
число $420$ делится на $21$ так как $420 = 21 \cdot 20$.
Делятся ли числа $63+420$ и $420-63$ на $21$? Определим это:
$420+63=21 \cdot 20+ 21 \cdot 3 = 21\cdot (20+3)=21 \cdot 23$;
$420-63=21 \cdot 20- 21 \cdot 3 = 21\cdot (20-3)=21\cdot 17$.
Следовательно, сумма и разность делятся на $21$.

Делимость суммы (делится)

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.

---

Пример №2

Число $420$ делится на $21$ так как $420 = 21 \cdot 20$, число $30$ не делится на $21$.
Тогда числа $420+30$ и $420-30$ также не делятся на $21$. Проверьте самостоятельно.

Делимость суммы (не делится)

Если одно число делится на некоторое число, а второе число не делится на это число, то сумма и разность этих чисел не делятся на это число.

---

Пример №3

Число $124$ не делится на $5$;
число $6$ не делится на $5$;
но сумма $124+6$ делится на $5$. В то же время разность $124-6$ не делится на $5$.

Обратите внимание

Если при сложении или вычитании двух чисел ни одно из них не делится на определенное число , то нельзя сделать вывод о том, делится ли их сумма или разность на это число. Иными словами, сумма или разность могут делиться на это число, но также могут и не делиться.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается свойство делимости произведения?
2. В чем заключается свойство делимости суммы?
3. Когда можно утверждать, что сумма не делится на число?
4. Что можно сказать про делимость суммы на число, если оба слагаемых не делятся на это число?

Ресурсы урока

Лист Теория
Практика урока в ресурсах темы Простые и составные числа