Простые и составные числа

---

Какие числа называют простыми

Число $1$ имеет только один делитель - единицу. Любое другое натуральное число имеет, по крайней мере, два делителя - это само число и $1$.
Например, числа $2,3,5,7,11,13, ...$ имеют только по $2$ делителя: единицу и самого себя.

$$3:3=1;\quad 3:1=3.$$

У числа $12$ делителей больше двух - это числа $1,2,3,4,6,12.$

Определение

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.

Таким образом, все натуральные числа можно разбить на три группы:

Единица (один делитель)	Простые числа (два делителя)	Составные числа (более двух делителей)
$1$	$2, 3, 5, 7, 11, 13,...$	$4, 6, 8, 9, 10, 12, ...,$

Обратите внимание

Число $1$ не является ни простым, ни составным.

---

Разложение на простые множители

Составное число $210$ можно разными способами представить в виде произведения его делителей.

Например, $210=21 \cdot 10 = 6 \cdot 35 =\textcolor{purple}{2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7}.$

Последнее произведение отличается от других тем, что все его множители - простые числа. Говорят, что число $210$ разложено на простые множители.

Пример №1

Разложите число $60$ на простые множители.

I-ый способ

1. $60$ делится на простое число $2\!:\quad 60:2=30.$
   
2. $30$ делится на простое число $2\!:\quad 30:2=15.$
   
3. $15$ делится на простое число $3\!:\quad 15:3=5.$
   
4. $5$ делится на простое число $5\!:\quad\;\; 5:5=1.$
   Следовательно, $60=2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5=2^2 \cdot 3 \cdot 5.$
   Обычно процесс решения записывают так:

II-ой способ

Решение может быть представлено в виде дерева. Для этого число разбивается на делители, а простые числа выделяются кружком. В результате получаем разложение исходного числа на простые множители.

примечание

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

---

Примеры

Пример №2

Разложение на простые множители: $18=2 \cdot 3 \cdot 3$
Одинаковые множители можно заменить степенью: $18=2 \cdot 3^2$

Пример №3

Разложение на простые множители: $80=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$
Одинаковые множители можно заменить степенью: $80=2^4 \cdot 5$

Пример №4

Разложение на простые множители: $81=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
Одинаковые множители можно заменить степенью: $81=3^4$

Пример №5

Записать все делители числа $a$, если $a=2\cdot 5 \cdot 7.$

Решение

Делителями числа являются все его простые множители, а также все возможные комбинации произведений этих множителей.

Делители: $\{1, 2,5,7,10,14,35,70\}$

Вопросы для самоконтроля

1. Какое натуральное число называют простым?
2. Какое натуральное число называют составным?
3. Почему число $1$ не относят ни к простым, ни к составным?
4. Существует ли чётное простое число?
5. Назовите наименьшее простое число.
6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Калькулятор: является ли число простым

Калькулятор: разложение числа на простые множители

Ресурсы урока

Простые и составные числа (теория)
Простые и составные числа (работа на уроке)
Простые и составные числа (домашняя работа)