Перейти к основному содержимому

Простые и составные числа


Какие числа называют простыми

Число 11 имеет только один делитель - единицу. Любое другое натуральное число имеет, по крайней мере, два делителя - это само число и 11.
Например, числа 2,3,5,7,11,13,...2,3,5,7,11,13, ... имеют только по 22 делителя: единицу и самого себя.

3:3=1;3:1=3.3:3=1;\quad 3:1=3.

У числа 1212 делителей больше двух - это числа 1,2,3,4,6,12.1,2,3,4,6,12.


Определение

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.


Таким образом, все натуральные числа можно разбить на три группы:

Единица
(один делитель)
Простые числа
(два делителя)
Составные числа
(более двух делителей)
112,3,5,7,11,13,...2, 3, 5, 7, 11, 13,...4,6,8,9,10,12,...,4, 6, 8, 9, 10, 12, ...,

Обратите внимание

Число 11 не является ни простым, ни составным.




Разложение на простые множители

Составное число 210210 можно разными способами представить в виде произведения его делителей.

Например, 210=2110=635=2357.210=21 \cdot 10 = 6 \cdot 35 =\textcolor{purple}{2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7}.

Последнее произведение отличается от других тем, что все его множители - простые числа. Говорят, что число 210210 разложено на простые множители.

Пример №1

Разложите число 6060 на простые множители.

  1. 6060 делится на простое число 2 ⁣:60:2=30.2\!:\quad 60:2=30.
  2. 3030 делится на простое число 2 ⁣:30:2=15.2\!:\quad 30:2=15.
  3. 1515 делится на простое число 3 ⁣:15:3=5.3\!:\quad 15:3=5.
  4. 55 делится на простое число 5 ⁣:    5:5=1.5\!:\quad\;\; 5:5=1.
    Следовательно, 60=2235=2235.60=2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5=2^2 \cdot 3 \cdot 5.
    Обычно процесс решения записывают так:

примечание

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.



Примеры

Разложение на простые множители: 18=23318=2 \cdot 3 \cdot 3
Одинаковые множители можно заменить степенью: 18=23218=2 \cdot 3^2


Пример №5

Записать все делители числа aa, если a=257.a=2\cdot 5 \cdot 7.

Делителями числа являются все его простые множители, а также все возможные комбинации произведений этих множителей.


Делители: {1,2,5,7,10,14,35,70}\{1, 2,5,7,10,14,35,70\}


Вопросы для самоконтроля

  1. Какое натуральное число называют простым?
  2. Какое натуральное число называют составным?
  3. Почему число 11 не относят ни к простым, ни к составным?
  4. Существует ли чётное простое число?
  5. Назовите наименьшее простое число.
  6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Калькулятор: является ли число простым


Калькулятор: разложение числа на простые множители


Ресурсы урока

Простые и составные числа (теория)
Простые и составные числа (работа на уроке)
Простые и составные числа (домашняя работа)