Простые и составные числа

Число $1$ имеет только один делитель - единицу. Любое другое натуральное число имеет, по крайней мере, два делителя - это само число и $1$.
Например, числа $2,3,5,7,11,13, ...$ имеют только по $2$ делителя: единицу и самого себя.

У числа $12$ делителей больше двух - это числа $1,2,3,4,6,12.$

Определение

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.

Таким образом, все натуральные числа можно разбить на три группы:

Единица	Простые числа	Составные числа
Один делитель	Два делителя	Больше двух делителей

Обратите внимание

Число $1$ не является ни простым, ни составным.

простые числа

---

Разложение на простые множители

Составное число $210$ можно разными способами представить в виде произведения его делителей.

Например, $210=21 \cdot 10 = 6 \cdot 35 =\textcolor{purple}{2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7}.$

Последнее произведение отличается от других тем, что все его множители - простые числа. Говорят, что число $210$ разложено на простые множители.

Пример №1

Разложите число $60$ на простые множители.

I-ый способ

1. делится на простое число
2. делится на простое число
3. делится на простое число
4. делится на простое число
Следовательно,
Обычно процесс решения записывают так:

разложение числа на простые множители

II-ой способ

Решение может быть представлено в виде дерева. Для этого число разбивается на делители, а простые числа выделяются кружком. В результате получаем разложение исходного числа на простые множители.

разложение числа на простые множители

примечание

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

---

Примеры

Пример №2

Разложение на простые множители:
Одинаковые множители можно заменить степенью:

Пример №3

Разложение на простые множители:
Одинаковые множители можно заменить степенью:

Пример №4

Разложение на простые множители:
Одинаковые множители можно заменить степенью:

Пример №5

Записать все делители числа $a$, если $a=2\cdot 5 \cdot 7.$

Решение

Делителями числа являются все его простые множители, а также все возможные комбинации произведений этих множителей.
Делители:

Вопросы для самоконтроля

1. Какое натуральное число называют простым?
2. Какое натуральное число называют составным?
3. Почему число $1$ не относят ни к простым, ни к составным?
4. Существует ли чётное простое число?
5. Назовите наименьшее простое число.
6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Калькулятор: является ли число простым

Калькулятор: разложение числа на простые множители

Ресурсы урока

Простые и составные числа (теория)
Простые и составные числа (работа на уроке)
Простые и составные числа (домашняя работа)