Подобные треугольники

Что такое подобие?

Слово подобие означает нечто похожее, сходное с чем-либо. Например, набор матрёшек. Каждая похожа на другую, но отличается размером.

Среди геометрических фигур подобными будут: любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника.

Определение

Подобные фигуры - это фигуры, которые имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером.

---

Подобные треугольники

Если каждую сторону треугольника уменьшить в два раза, то мы получим подобный треугольник. В новом треугольнике углы остануться прежними, но изменится отношение сторон.

Обратите внимание

Мы рассматриваем отношение только тех сторон, которые лежат против равных углов. Такие стороны называют соответственными.
В нашем случае: $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=2$ ( пропорциональные отрезки).

Подобие треугольников записывают с помощью специальногого знака $\sim$ (тильда). Пишут: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (читают: "треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$").

Определение

Подобные треугольники - это треугольники, у которых:

• соответствующие углы равны $(\angle A =\angle A_1; \angle B = \angle B_1; \angle C = \angle C_1 )$;

• соответственные стороны пропорциональны:

  $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}.$

Если каждую сторону треугольника уменьшть в два раза, то отношение соответственных сторон будет равно двум $\left(\frac{AB}{A_1B_1}=2\right)$. Это число называют коэффициентом подобия и записывают: $k=2$.

Обратите внимание

Для определения коэффициента подобия находят отношение стороны первого из записанных подобных треугольников к соответствующей стороне второго треугольника.

Например, если $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ и $\frac{AB}{A_1B_1}=2$, то $k=2$. При этом треугольник $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac12$.

---

Теорема о параллельной прямой

теорема

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.