Skip to main content

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике


Проекции катетов на гипотензу


На рисунке отрезок hh- высота прямоугольного треугольника.

Определение

Отрезки, на которые высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу.

Часто проекции обозначают с помощью индексов. Например, запись cac_a указывает на то, что это проекция катета aa на гипотенузу cc.


Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Теорема

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.


  1. Пусть в прямоугольном треугольнике ACB:ACB: A=α\angle A =\alpha и B=β.\angle B =\beta. Сумма этих углов равна α+β=900.\alpha +\beta = 90^0.

  2. Высота CHCH делит треугольник ACBACB на два прямоугольных треугольника в каждом из которых есть угол α\alpha и угол β.\beta.

  3. Следовательно, все три треугольника подобны по двум углам: ACBAHCCHB.\triangle ACB \sim \triangle AHC \sim \triangle CHB.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим и докажем три равенства, которые называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Теорема

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

h2=cacbh^2=c_a\cdot c_b

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу cc:

a2=cca,b2=ccb.a^2=c\cdot c_a, \quad b^2=c \cdot c_b.

На рисунке отрезок CHCH- высота прямоугольного треугольника ABCABC .
Докажем, что:

  1. CH2=AHHBCH^2=AH \cdot HB,
    2) AC2=AHABAC^2=AH \cdot AB ,
  2. CB2=BHAB.CB^2=BH \cdot AB.

  3. CBHACHCHAH=BHCHCH2=AHHB.\triangle CBH \sim \triangle ACH \Rightarrow \dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BH}{CH} \Rightarrow CH^2=AH \cdot HB.


  1. ABCACHABAC=ACAHAC2=AHAB.\triangle ABC \sim \triangle ACH \Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC}{AH} \Rightarrow AC^2=AH \cdot AB.

  2. Аналогично предыдущему.