Skip to main content

Сложение дробей с разными знаменателями

· 3 min read

В этом уроке мы будем учиться складывать дроби с разными знаменателями. Перед чтением рекомендую посмотреть видеоурок

Сложение дробей с равными знаменателями

Вначале вспомним, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Если рассматривать знаменатель как название доли, то такую запись 38+28=58\dfrac{3}{8}+\dfrac28=\dfrac58 можно можно воспринимать так: три "восьмушки" + две "восьмушки" = пять " восьмушек". Это просто здравый смысл, посмотрите на рисунок.

Приведение дробей к общему знаменателю

Если знаменатели разные, то данные дроби нужно заменить равными им дробями с одинаковыми знаменателями.

Пример №1. Сложим дроби 38\dfrac38 и 14\dfrac14.

Больший знаменатель 88 делится на меньший знаменатель 44. Значит, число 88 может быть общим знаменателем этих дробей.

Пример 2. 38+16\dfrac38+\dfrac16

В этом случае мы не можем выразить первую дробь 38\dfrac38 в шестых долях, а вторую дробь 16\dfrac16 в восьмых долях. Используя основное свойство дроби, выразим дроби в разных долях.

Замечаем, что некоторые знаменатели совпадают (являются общими). Общих знаменателей бесконечно много, а наименьший общий знаменатель - один и, в нашем случае, это число 2424. Приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

Техника сложения дробей с разными знаменателями

Примеры на сложение дробей с разными знаменателями можно условно разделить на три группы:

Случай №1. Больший знаменатель делится на меньший.

Например, 25+725\dfrac25+\dfrac{7}{25} В этом случае наименьший общий знаменатель у нас уже есть. Это больший знаменатель. Приводим дробь с меньшим знаменателем к общему знаменателю и получаем: 25+725=10+725=1725\dfrac25+\dfrac{7}{25}=\dfrac{10+7}{25}=\dfrac{17}{25}

Случай №2. Знаменатели взаимно простые числа

Например, 37+210\dfrac37+\dfrac{2}{10} В этом случае, чтобы найти наименьший общий знаменатель, нужно перемножить числа 77 и 1010. 37+210=4470\dfrac37+\dfrac{2}{10}=\dfrac{44}{70}

Случай №3. У знаменателей есть наибольший общий делитель, отличный от единицы и от самих знаменателей.

Например, 512+415\dfrac{5}{12}+\dfrac{4}{15}

Способ 1. Перебираем числа кратные большему знаменателю, до тех пор пока не появится число,которое делится на оба знаменателя. В нашем случае (15:15,30,45,60)(15: 15,30, 45, 60) это число 6060, которое будет наименьшим общим знаменателем.

Получаем: 512+415=4160\dfrac{5}{12}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{41}{60}

Способ 2. Определяем наибольший общий делитель обоих знаменателей и раскладываем каждый знаменатель на произведение двух множителей, среди которых должен быть наибольший общий делитель.

Внимание!

Важно: один из множителей обязательно должен быть наибольшим общим делителем, иначе знаменатель может оказаться не наименьшим!

Дополняем каждый знаменатель недостающим множителем.

124+314=1212+327=7+362712=43168\dfrac{1}{24}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{1}{2\cdot 12}+\dfrac{3}{2\cdot 7}=\dfrac{7+36}{2\cdot 7 \cdot 12}=\dfrac{43}{168}