Как найти производную сложной функции?

Как найти производную сложной функции

Для начала давайте разберемся: что такое сложная функция. Например, функция $(3x-2)^4$- сложная, а функция $x^4$ - элементарная. В сложную функцию может быть "вложено" несколько функций.

Если мыслить функцию как операцию, то значение $(3x-2)^4$ можно вычислить в два захода. Например, если $x=4$, то мы вначале вычислим $3\cdot 4-2$, и получим $10$. Затем результат $10$ возведем в четвертую степень. Операция, которую мы выполняем первой называется внутренней функцией, вторая операция - внешней функцией.

Теперь нам потребуется правило:

Правило

Чтобы найти производную сложной функции нужно умножить производную внутренней функции на производную внешней функции.

Запишем функцию $(3x-2)^4$ в виде: $(\square)^4$. Так можно представить сложную функцию как элементарную. Теперь применяем правило: $y'=\square ' \cdot (\square)$.

Производная внутренней функции $(3x-2)'=3$, производная внешней функции: $\left((\square)^4\right)'=4\cdot (\square)^3$. Помним, что под прямоугольником прячется внутренняя функция, получаем: $y'=3\cdot 4(3x-2)^3=12\cdot (3x-2)^3$

Примеры нахождения производной сложной функции

Найти производную функции $\quad y=(2-5x^3)^2$

Производная внутренней функции: $(2-5x^3)'=-15x^2$

Производная внешней функции: $(\square^2)'=2\square$

Применяем правило: $y'=-15x^2\cdot 2(2-5x^3)=-30x^2\cdot(2-5x^3)$

Найти производную функции $\quad y=\sin(5x)$

Производная внутренней функции: $(5x)'=5$

Производная внешней функции: $(\sin(\square))'=\cos(\square)$

Применяем правило: $y'=5\cdot \cos(5x)$

Найти производную функции $\quad y=e^{4-3x}$

Производная внутренней функции: $(4-3x)'=-3$

Производная внешней функции: $(e^{\square})'=e^{\square}$

Применяем правило: $y'=-3e^{4-3x}$