Перейти к основному содержимому

Подобные треугольники

Что такое подобие?

Слово подобие означает нечто похожее, сходное с чем-либо. Например, набор матрёшек. Каждая похожа на другую, но отличается размером.


Среди геометрических фигур подобными будут: любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника.


Определение

Подобные фигуры - это фигуры, которые имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером.


Подобные треугольники

Если каждую сторону треугольника уменьшить в два раза, то мы получим подобный треугольник. В новом треугольнике углы остануться прежними, но изменится отношение сторон.


Обратите внимание

Мы рассматриваем отношение только тех сторон, которые лежат против равных углов. Такие стороны называют соответственными.
В нашем случае: ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1=2\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=2 ( пропорциональные отрезки).


Подобие треугольников записывают с помощью специальногого знака \sim (тильда). Пишут: ABCA1B1C1\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 (читают: "треугольник ABCABC подобен треугольнику A1B1C1A_1B_1C_1").

Определение

Подобные треугольники - это треугольники, у которых:

  • соответствующие углы равны (A=A1;B=B1;C=C1)(\angle A =\angle A_1; \angle B = \angle B_1; \angle C = \angle C_1 );

  • соответственные стороны пропорциональны:

    ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1.\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}.

Если каждую сторону треугольника уменьшть в два раза, то отношение соответственных сторон будет равно двум (ABA1B1=2)\left(\frac{AB}{A_1B_1}=2\right). Это число называют коэффициентом подобия и записывают: k=2k=2.

Обратите внимание

Для определения коэффициента подобия находят отношение стороны первого из записанных подобных треугольников к соответствующей стороне второго треугольника.

Например, если ABCA1B1C1\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 и ABA1B1=2\frac{AB}{A_1B_1}=2, то k=2k=2. При этом треугольник A1B1C1ABC\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC с коэффициентом подобия k=A1B1AB=12k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac12.


Теорема о параллельной прямой

теорема

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.