Перейти к основному содержимому

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Проекции катетов на гипотензу​


На рисунке отрезок h−h- высота прямоугольного треугольника.

Определение

Отрезки, на которые высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу.

Часто проекции обозначают с помощью индексов. Например, запись cac_a указывает на то, что это проекция катета aa на гипотенузу cc.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника​

Теорема

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.


  1. Пусть в прямоугольном треугольнике ACB:ACB: ∠A=α\angle A =\alpha и ∠B=β.\angle B =\beta. Сумма этих углов равна α+β=900.\alpha +\beta = 90^0.

  2. Высота CHCH делит треугольник ACBACB на два прямоугольных треугольника в каждом из которых есть угол α\alpha и угол β.\beta.

  3. Следовательно, все три треугольника подобны по двум углам: △ACB∼△AHC∼△CHB.\triangle ACB \sim \triangle AHC \sim \triangle CHB.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике​

Рассмотрим и докажем три равенства, которые называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Теорема

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

h2=ca⋅cbh^2=c_a\cdot c_b

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу cc:

a2=c⋅ca,b2=c⋅cb.a^2=c\cdot c_a, \quad b^2=c \cdot c_b.

На рисунке отрезок CH−CH- высота прямоугольного треугольника ABCABC .
Докажем, что:

  1. CH2=AH⋅HBCH^2=AH \cdot HB,
    2) AC2=AH⋅ABAC^2=AH \cdot AB ,
  2. CB2=BH⋅AB.CB^2=BH \cdot AB.

  3. △CBH∼△ACH⇒CHAH=BHCH⇒CH2=AH⋅HB.\triangle CBH \sim \triangle ACH \Rightarrow \dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BH}{CH} \Rightarrow CH^2=AH \cdot HB.


  1. △ABC∼△ACH⇒ABAC=ACAH⇒AC2=AH⋅AB.\triangle ABC \sim \triangle ACH \Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC}{AH} \Rightarrow AC^2=AH \cdot AB.

  2. Аналогично предыдущему.