Равносильные уравнения и уравнение-следствие

---

🔍Что значит решить уравнение

Рассмотрим две функции: $y=3x+5$ и $y=6x+4$. Перед нами стоит задача найти такое значение переменной $x$, при котором значения обеих функций будут равны. Это означает, что нам нужно решить уравнение: $3x+5=6x+4$.

Обобщая, можно сказать следующее: если даны две функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$, и требуется найти все значения переменной $x$, при которых значения функций $f(x)$ и $g(x)$ совпадают, то необходимо решить уравнение $f(x)=g(x)$.

✔️ Решение уравнения означает нахождение всех значений переменной $x$, при которых левая и правая части уравнения принимают одинаковые значения.

---

🌍Область определения уравнения

Рассмотрим уравнение $\cfrac{x^2-4}{x-2}=0$. Заметим, что при $x=2$ левая часть не имеет смысла, так как на ноль делить нельзя. Все остальные значения для $x$ подходят. Такое допустимое множество значений называют областью определения уравнения.

Определение

Областью определения уравнения $f(x)=g(x)$ называют множество значений переменной $x$, при которых имеют смысл обе части уравнения.

Примеры

• областью определения уравнения $\cfrac{x+5}{|x|-x}=0$ является множество $\{x \ | \ x<0\}$;
• областью определения уравнения $\cfrac{x+4}{(x-2)(x+2)}$ является множество $\{x \ | \ x\neq \pm 2\}$.

---

🔄Равносильные уравнения

Рассмотрим два уравнения: $x^2=4$ и $|x|=2$. Оба эти уравнения имеют одинаковые корни: $-2$ и $2$. В таких случаях говорят, что уравнения $x^2=4$ и $|x|=2$ равносильны.

Определение

Равносильными называются уравнения, которые имеют одно и то же множество решений. Это означает, что каждое решение одного уравнения является решением другого, и наоборот.

❓ Как доказать что уравнения равносильны?

• Необходимо показать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.
• Далее, нужно доказать, что каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

Примеры равносильных уравнений

• $\cfrac12x=0$ и $2x=0$;
• $2x=4$ и $4x-8=0$;
• $x^2=1$ и $(x-1)(x+1)=0$.

Уравнения, не имеющие решений.

Стоит отметить, что если оба уравнения не имеют решений (то есть их множества решений пусты), такие уравнения также считаются равносильными. Например, уравнения $x^2=-1$ и $|x|=-3$ равносильны, так как оба не имеют решений.

---

Равносильные преобразования

Определение

Равносильные преобразования — это преобразования, которые позволяют заменить данное уравнение на другое, равносильное ему, то есть уравнение с теми же самыми корнями.

1. ➕➖Прибавление или вычитание одного и того же числа:

   Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, получим уравнение, равносильное данному.

   Рассмотрим уравнение $x+3=7$. Вычтем $3$ из обеих частей уравнения:

$$x+3-3=7-3$$

Получаем:

$$x=4$$

Уравнение $x=4$ равносильно исходному уравнению $x+3=7$, так как они имеют одно и то же решение.

2. 🔄Перенос слагаемого с изменением знака:

Если перенести любое слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному.

Пример:

Возьмём уравнение $2x+5=9$. Перенесём $5$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$$2x=9−5$$

Это упрощается до:

$$2x=4$$

Уравнение $2x=4$ равносильно исходному уравнению, так как оба имеют одно и то же решение $x=2$.

3. ✖️➗Умножение или деление на одно и то же ненулевое число:

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же ненулевое число, получим уравнение, равносильное данному.

Пример: Рассмотрим уравнение $3x=12$. Разделим обе части уравнения на $3$:

$$\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$$

Это упрощается до:

$$x=4$$

Уравнение $x=4$ равносильно исходному уравнению $3x=12$, так как они имеют одно и то же решение.

Прибавление (вычитание) переменной

Обратите внимание, что нельзя прибавлять или вычитать к обеим частям уравнения выражение, содержащее переменную, с целью получения равносильного уравнения. В этом случае уравнение может потерять некоторые корни, и полученное уравнение уже не будет равносильным исходному.

Рассмотрим уравнение $\cfrac{1}{x+2}+x^2=4+\cfrac{1}{x+2}$. Если мы вычтем из обеих частей дробь $\cfrac{1}{x+2}$, то получим уравнение $x^2=4$.

❗ Однако уравнение $x^2=4$ не равносильно исходному, так как при этом мы потеряли корни, которые могли бы существовать из-за выражения $\cfrac{1}{x+2}$. Например, в исходном уравнении $x=−2$ делает левую часть неопределённой, но $x^2=4$ имеет решение $x=2$ и $x=−2$, что что приводит к неправильным выводам о решениях уравнения.

---

🔄Уравнение-следствие

Определение

Если множество корней одного уравнения содержит множество корней другого уравнения, то первое уравнение называют следствием второго уравнения.

Рассмотрим уравнение $\cfrac{x^2-4}{x+2}=0$.

Чтобы решить его, можно рассуждать следующим образом: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$$x^2-4=0$$

Решая это уравнение, получаем $x=\pm 2$. Однако, значение $x=-2$ не принадлежит области определения исходного уравнения, поскольку приводит к делению на ноль. Поэтому, $x=-2$ не является решением исходного уравнения. В то же время, $x=2$ удовлетворяет исходному уравнению и является его единственным корнем.

В данном случае, при решении уравнения $\cfrac{x^2-4}{x+2}=0$ мы перешли к уравнению-следствию $x^2-4=0$ которое расширяет множество корней. Поэтому важно провести проверку и исключить посторонние корни, которые могут появиться при переходе к уравнению-следствию. Отметим, что иногда посторонних корней может и не быть.

⚠️При решении уравнений важно понимать на каком этапе преобразования была нарушена равносильность и что послужило этому причиной.

Подводя итог, укажем, что множество корней уравнения-следствия:

• может быть больше, чем множество корней исходного уравнения,
• может совпадать с множеством корней исходного уравнения,
• но не может быть меньше множества корней исходного уравнения.

В приведённом выше решении переход к уравнению-следствию был выполнен через приравнивание к нулю числителя дроби. Однако, распространённой ошибкой является приравнивание числителя к нулю без учёта знаменателя.

Запомните:

Равенство дроби нулю

Дробь равна нулю тогда и только тогда , когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.