Перейти к основному содержимому

Четыре точки на окружности


Всегда ли четыре точки лежат на окружности?

Как известно, около любого треугольника можно провести окружность, следовательно, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. А вот четыре точки не всегда принадлежат одной окружности, так как не любой четырёхугольник можно вписать в окружность.

Для ответа на вопрос о принадлежности четырех точек окружности необходимы признаки, которыми несложно пользоваться, если рассматривать точки как вершины четырёхугольника.


Признак принадлежности четырёх точек окружности

признаки

Четыре точки A,B,C,DA,B,C,D принадлежат данной окружности, если для них, как для вершин четырёхугольника ABCDABCD, выполняется любое равенство:

  1. A+C=1800\angle A +\angle C =180^0 (признак вписанного четырёхугольника.
  2. ACB=ADB\angle ACB = \angle ADB (отрезок ABAB виден под одним углом из двух точек).


Обратите внимание

Признак №2 во многих источниках формулируется таким образом:
"если отрезок ABAB из двух точек CC и DD, лежащих по одну сторону от прямой ABAB, виден под одним углом (т. е. углы ACBACB и ADBADB равны), то точки A,B,CA,B,C и DD лежат на одной окружности."

Пусть ADB=ACB=α\angle ADB = \angle ACB = \alpha. Докажем, что точки A,B,CA,B,C и DD принадлежат одной окружности.

Около треугольника ADBADB опишем окружность. Пусть KK произвольная точка окружности, тогда четырёхугольник AKBDAKBD вписанный.

Отсюда D+K=1800K=1800α\angle D + \angle K = 180^0 \Rightarrow \angle K = 180^0 - \alpha.

Имеем: K+C=1800\angle K + \angle C = 180^0, следовательно, четырёхугольник AKBCAKBC тоже вписан в окружность и точка CC принадлежит этой окружности.


Метод вспомогательной окружности

Если при решении задачи удается "увидеть" окружность проходящую через четыре точки, а затем доказать этот факт с помощью признаков, то мы получаем возможность использовать свойства окружности (особенно вписанных углов). Рассмотрим этот метод в задачах.

Задача №1

Дан прямоугольный треугольник ABC(𝐶=900)ABC (𝐶=90^0). Из произвольной точки 𝑁𝑁 катета 𝐶𝐵𝐶𝐵 опущен перпендикуляр 𝑁𝐻𝑁𝐻 на гипотенузу 𝐴𝐵𝐴𝐵. Докажите, что 𝑁𝐻𝐶=𝑁𝐴𝐶\angle 𝑁𝐻𝐶=\angle 𝑁𝐴𝐶.


Доказать, что четырехугольник NHACNHAC является вписанным и рассмотреть описанную около него окружность.

Рассмотрим четырёхугольник ACNHACNH. Сумма противолежащих углов: C+H=1800\angle C + \angle H =180^0. Следовательно, этот четырёхугольник можно вписать в окружность (признак ).
Углы CANCAN и CHNCHN являются вписанными, опирающимися на одну и ту же дугу CNCN, следовательно, CAN=CHN\angle CAN = \angle CHN.


Вспомогательная окружность и высоты треугольника

Пусть высоты AA1AA_1 и CC1CC_1 остроугольного треугольника ABCABC пересекаются в точке HH, тогда можно провести две вспомогательные окружности:

  • окружность через точки H,C1,BH, C_1, B и A1A_1.
  • окружность через точки A,C1,A1A,C_1, A_1 и CC.

Ресурсы

Метод вспомогательной окружности всегда подразумевает вписанный четырёхугольник, поэтому для закрепления этой темы решайте задачи блока "Вписанный четырёхугольник"