Четыре точки на окружности

---

Всегда ли четыре точки лежат на окружности?

Как известно, около любого треугольника можно провести окружность, следовательно, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. А вот четыре точки не всегда принадлежат одной окружности, так как не любой четырёхугольник можно вписать в окружность.

Для ответа на вопрос о принадлежности четырех точек окружности необходимы признаки, которыми несложно пользоваться, если рассматривать точки как вершины четырёхугольника.

---

Признак принадлежности четырёх точек окружности

признаки

Четыре точки $A,B,C,D$ принадлежат данной окружности, если для них, как для вершин четырёхугольника $ABCD$, выполняется любое равенство:

1. $\angle A +\angle C =180^0$ (признак вписанного четырёхугольника.
2. $\angle ACB = \angle ADB$ (отрезок $AB$ виден под одним углом из двух точек).

Обратите внимание

Признак №2 во многих источниках формулируется таким образом:
"если отрезок $AB$ из двух точек $C$ и $D$, лежащих по одну сторону от прямой $AB$, виден под одним углом (т. е. углы $ACB$ и $ADB$ равны), то точки $A,B,C$ и $D$ лежат на одной окружности."

Доказательство признака

Пусть $\angle ADB = \angle ACB = \alpha$. Докажем, что точки $A,B,C$ и $D$ принадлежат одной окружности.

Около треугольника $ADB$ опишем окружность. Пусть $K$ произвольная точка окружности, тогда четырёхугольник $AKBD$ вписанный.

Отсюда $\angle D + \angle K = 180^0 \Rightarrow \angle K = 180^0 - \alpha$.

Имеем: $\angle K + \angle C = 180^0$, следовательно, четырёхугольник $AKBC$ тоже вписан в окружность и точка $C$ принадлежит этой окружности.

---

Метод вспомогательной окружности

Если при решении задачи удается "увидеть" окружность проходящую через четыре точки, а затем доказать этот факт с помощью признаков, то мы получаем возможность использовать свойства окружности (особенно вписанных углов). Рассмотрим этот метод в задачах.

Задача №1

Дан прямоугольный треугольник $ABC (𝐶=90^0)$. Из произвольной точки $𝑁$ катета $𝐶𝐵$ опущен перпендикуляр $𝑁𝐻$ на гипотенузу $𝐴𝐵$. Докажите, что $\angle 𝑁𝐻𝐶=\angle 𝑁𝐴𝐶$.

Идея

Доказать, что четырехугольник $NHAC$ является вписанным и рассмотреть описанную около него окружность.

Решение

Рассмотрим четырёхугольник $ACNH$. Сумма противолежащих углов: $\angle C + \angle H =180^0$. Следовательно, этот четырёхугольник можно вписать в окружность (признак ).
Углы $CAN$ и $CHN$ являются вписанными, опирающимися на одну и ту же дугу $CN$, следовательно, $\angle CAN = \angle CHN$.

---

Вспомогательная окружность и высоты треугольника

Пусть высоты $AA_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, тогда можно провести две вспомогательные окружности:

• окружность через точки $H, C_1, B$ и $A_1$.

• окружность через точки $A,C_1, A_1$ и $C$.

Ресурсы

Метод вспомогательной окружности всегда подразумевает вписанный четырёхугольник, поэтому для закрепления этой темы решайте задачи блока "Вписанный четырёхугольник"