Сложение дробей с разными знаменателями

В этом уроке мы будем учиться складывать дроби с разными знаменателями. Перед чтением рекомендую посмотреть видеоурок

Сложение дробей с равными знаменателями

Вначале вспомним, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Если рассматривать знаменатель как название доли, то такую запись $\dfrac{3}{8}+\dfrac28=\dfrac58$ можно можно воспринимать так: три "восьмушки" + две "восьмушки" = пять " восьмушек". Это просто здравый смысл, посмотрите на рисунок.

Приведение дробей к общему знаменателю

Если знаменатели разные, то данные дроби нужно заменить равными им дробями с одинаковыми знаменателями.

Пример №1. Сложим дроби $\dfrac38$ и $\dfrac14$.

Больший знаменатель $8$ делится на меньший знаменатель $4$. Значит, число $8$ может быть общим знаменателем этих дробей.

Пример 2. $\dfrac38+\dfrac16$

В этом случае мы не можем выразить первую дробь $\dfrac38$ в шестых долях, а вторую дробь $\dfrac16$ в восьмых долях. Используя основное свойство дроби, выразим дроби в разных долях.

Замечаем, что некоторые знаменатели совпадают (являются общими). Общих знаменателей бесконечно много, а наименьший общий знаменатель - один и, в нашем случае, это число $24$. Приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

Техника сложения дробей с разными знаменателями

Примеры на сложение дробей с разными знаменателями можно условно разделить на три группы:

Случай №1. Больший знаменатель делится на меньший.

Например, $\dfrac25+\dfrac{7}{25}$ В этом случае наименьший общий знаменатель у нас уже есть. Это больший знаменатель. Приводим дробь с меньшим знаменателем к общему знаменателю и получаем: $\dfrac25+\dfrac{7}{25}=\dfrac{10+7}{25}=\dfrac{17}{25}$

Случай №2. Знаменатели взаимно простые числа

Например, $\dfrac37+\dfrac{2}{10}$ В этом случае, чтобы найти наименьший общий знаменатель, нужно перемножить числа $7$ и $10$. $\dfrac37+\dfrac{2}{10}=\dfrac{44}{70}$

Случай №3. У знаменателей есть наибольший общий делитель, отличный от единицы и от самих знаменателей.

Например, $\dfrac{5}{12}+\dfrac{4}{15}$

Способ 1. Перебираем числа кратные большему знаменателю, до тех пор пока не появится число,которое делится на оба знаменателя. В нашем случае $(15: 15,30, 45, 60)$ это число $60$, которое будет наименьшим общим знаменателем.

Получаем: $\dfrac{5}{12}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{41}{60}$

Способ 2. Определяем наибольший общий делитель обоих знаменателей и раскладываем каждый знаменатель на произведение двух множителей, среди которых должен быть наибольший общий делитель.

Внимание!

Важно: один из множителей обязательно должен быть наибольшим общим делителем, иначе знаменатель может оказаться не наименьшим!

Дополняем каждый знаменатель недостающим множителем.

$\dfrac{1}{24}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{1}{2\cdot 12}+\dfrac{3}{2\cdot 7}=\dfrac{7+36}{2\cdot 7 \cdot 12}=\dfrac{43}{168}$