Перейти к основному содержимому

Как найти производную сложной функции?

· 2 мин. чтения

Как найти производную сложной функции

Для начала давайте разберемся: что такое сложная функция. Например, функция (3x2)4(3x-2)^4- сложная, а функция x4x^4 - элементарная. В сложную функцию может быть "вложено" несколько функций.

Если мыслить функцию как операцию, то значение (3x2)4(3x-2)^4 можно вычислить в два захода. Например, если x=4x=4, то мы вначале вычислим 3423\cdot 4-2, и получим 1010. Затем результат 1010 возведем в четвертую степень. Операция, которую мы выполняем первой называется внутренней функцией, вторая операция - внешней функцией.


Теперь нам потребуется правило:

Правило

Чтобы найти производную сложной функции нужно умножить производную внутренней функции на производную внешней функции.

Запишем функцию (3x2)4(3x-2)^4 в виде: ()4(\square)^4. Так можно представить сложную функцию как элементарную. Теперь применяем правило: y=()y'=\square ' \cdot (\square).

Производная внутренней функции (3x2)=3(3x-2)'=3, производная внешней функции: (()4)=4()3\left((\square)^4\right)'=4\cdot (\square)^3. Помним, что под прямоугольником прячется внутренняя функция, получаем: y=34(3x2)3=12(3x2)3y'=3\cdot 4(3x-2)^3=12\cdot (3x-2)^3

Примеры нахождения производной сложной функции

Найти производную функции y=(25x3)2\quad y=(2-5x^3)^2

Производная внутренней функции: (25x3)=15x2(2-5x^3)'=-15x^2


Производная внешней функции: (2)=2(\square^2)'=2\square


Применяем правило: y=15x22(25x3)=30x2(25x3)y'=-15x^2\cdot 2(2-5x^3)=-30x^2\cdot(2-5x^3)

Найти производную функции y=sin(5x) \quad y=\sin(5x)

Производная внутренней функции: (5x)=5(5x)'=5


Производная внешней функции: (sin())=cos()(\sin(\square))'=\cos(\square)


Применяем правило: y=5cos(5x)y'=5\cdot \cos(5x)

Найти производную функции y=e43x \quad y=e^{4-3x}

Производная внутренней функции: (43x)=3(4-3x)'=-3


Производная внешней функции: (e)=e(e^{\square})'=e^{\square}


Применяем правило: y=3e43xy'=-3e^{4-3x}