Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Проекции катетов на гипотензу

проекции катетов

На рисунке отрезок $h-$ высота прямоугольного треугольника.

Определение

Отрезки, на которые высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу.

Часто проекции обозначают с помощью индексов. Например, запись $c_a$ указывает на то, что это проекция катета $a$ на гипотенузу $c$.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Теорема

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

подобные треугольники в прямоугольном треугольнике

Доказательство

1) Пусть в прямоугольном треугольнике и Сумма этих углов равна

2) Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника в каждом из которых есть угол и угол

3) Следовательно, все три треугольника подобны по двум углам:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим и докажем три равенства, которые называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Теорема

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу :

метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Доказательство

На рисунке отрезок высота прямоугольного треугольника .
Докажем, что:
1) ,
2) ,
3)

1)

2)

3) Аналогично предыдущему.