Вписанный четырёхугольник

---

Какой четырехугольник называют вписанным

Определение

Вписанный четырёхугольник - это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности.

В этом случае окружность называется описанной.

обратите внимание!

• около любого треугольника можно описать окружность;
• не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность.

---

Свойство вписанного четырехугольника

теорема (свойство)

Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна $180^0.$

Доказательство свойства

Пусть четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Докажем, что $\angle A + \angle C = 180^0.$

Так как углы $A$ и $B$ являются вписанными, то $\angle A=\dfrac12$ ◡ $BCD$ и $\angle C=\dfrac12$ ◡ $DAB$ (свойство вписанного угла).

Сумма этих дуг составляет окружность: ◡ $BCD$ +◡ $DAB=360^0.$ Из этого следует, что $\angle A + \angle C =180^0.$

Аналогично: $\angle B + \angle D =180^0. \quad \blacksquare$

---

Признак вписанного четырехугольника

Распознать четырёхугольники, около которых можно описать окружность, позволяет следующая теорема.

теорема (признак)

Если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна $180^0$, то он является вписанным в окружность.

Доказательство признака

Пусть в четырехугольнике $ABCD$ сумма противолежащих углов $\angle A + \angle C = 180^0. \quad(1)$

Предположим, что около четырёхугольника нельзя описать окружность.Тогда опишем окружность около треугольника $ABD$, в таком случае точка $C$ будет лежать вне или внутри этой окружности. Пусть она лежит вне её.

Тогда прямая $CD$ пересекает окружность в другой точке; пусть в точке $C_1$. Значит четырёхугольник $ABC_1D$ является вписанным и $\angle A + \angle C_1 = 180^0. \quad (2)$

Из равенств $(1)$ и $(2)$ заключаем, что $\angle C = \angle C_1$ , но этого не может быть так $\angle C_1$ является внешним углом треугольника $BC_1C$ и большего любого не смежного с ним, в частности $\angle C. d \blacksquare$

---

Теорема о вписанном четырехугольнике

Обе теоремы можно сформулировать в виде одной теоремы:

теорема

Для того чтобы четырёхугольник был вписанным в окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов была равна $180^0$.

Следствия из теоремы

• Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
• Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат.
• Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная

Вопросы для самоконтроля

1. Какой четырёхугольник называют вписанным?
2. В каком случае говорят, что окружность описана около четырёхугольника?
3. Каким свойством обладают углы вписанного четырёхугольника?
4. При каком условии четырёхугольник является вписанным?