Теорема Виета

Подобно формулам сокращенного умножения, теорема Виета позволяет уменьшить "трудозатраты" при решении квадратных уравнений.

На практике теорема Виета в основном используется для приведённых квадратных уравнений.

Приведённое квадратное уравнение

Определение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен $1$, называют приведённым.

Например, уравнение $x^2+4x-6=0$ является приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ можно "превратить" в приведённое разделив его на старший коэффициент $a$.

Например, уравнение $5x^2+7x-2=0$ делением на $5$ приводится к виду $x^2+\dfrac75x-\dfrac25=0$

В общем виде получаем:

$$ax^2+bx+c=0\vert:a,$$$$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0.$$

Затем избавляемся от дробных коэффициентов, заменив их буквами $p$ и $q$, и получаем общепринятый вид приведённого квадратного уравнения:

$$x^2+px+q=0.$$

Во многих учебниках используется именно такая форма записи, однако не будет ошибкой, если в рассуждениях мы будем указывать, что $a=1$ и использовать привычные нам коэффициенты $b$ и $c.$

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Теорема

Если $x_1$ и $x_2 -$ корни приведённого уравнения $x^2+bx+c=0$, то справедливы формулы: $\begin{cases} x_1 \cdot x_2 =c, \\ x_1+x_2 =-b \end{cases}$

Сумма корней приведённого квдратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство

В условии теоремы сказано, что $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения, следовательно его дискриминант $D \geq 0.$ Запишем формулы корней квадратного уравнения:

$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}, x_2=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$

Учитывая, что $a=1$, запишем сумму корней:

$x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2}+\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2}=-b.$

Запишем произведение корней:

$x_1\cdot x_2 =\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2} \cdot \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2}=\dfrac{b^2-D^2}{4}=\dfrac{b^2-(b^2-4c)}{4}=c.$

Ещё раз обратите внимание: мы учитываем, что $a=1$, то есть доказываем теорему только для приведённого уравнения.

Примеры решения задач

Задача №1

Один из корней уравнения $x^2-x-12=0$ равен $x_1=4$. Найти второй корень этого уравнения.

Решение

По теореме Виета $x_1\cdot x_2 =-12$. Так как $x_1=4$, то $4x_2=-12$, откуда $x_2=-3$

Ответ: $x_2=-3$

Задача №2

Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого $x_1=3, x_2=4.$

Решение

Так как $x_1=3, x_2=4-$ корни уравнения $x^2+bx+c=0$, то по теореме Виета

$$b=-(x_1+x_2)=-7, \quad c=x_1\cdot x_2=12.$$

Ответ: $x^2-7x+12=0$

Теорема, обратная теореме Виета

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь формулами корней.

Теорема

Если числа $\alpha$ и $\beta$ таковы, что $\alpha + \beta = -b$ и $\alpha \cdot \beta = c$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0.$

Доказательство

$\square$ Рассмотрим приведённое квадратное уравнение $x^2+bx+c=0$.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так:

$$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \cdot \beta=0.$$

Числа $\alpha$ и $\beta$ "кандидаты в корни" уравнения. Подставим в полученное уравнение вместо $x$ сначала число $\alpha$, затем число $\beta$. Получим:

$$\alpha^2-(\alpha+\beta)\alpha +\alpha\beta=\alpha^2-\alpha^2-\alpha\beta+\alpha\beta=0$$$$\beta^2-(\alpha+\beta)\beta +\alpha\beta=\beta^2-\alpha\beta-\beta^2+\alpha\beta=0$$

Следовательно, числа $\alpha$ и $\beta$ корни нашего уравнения. $\blacksquare$

Примеры решения задач

Пример №1

Решить устно уравнение $x^2-11x+24=0$

Решение

Подберем два числа $x_1$ и $x_2$ так, чтобы

$$\begin{cases} x_1 \cdot x_2 =24, \\ x_1+x_2 =11. \end{cases}$$

Заметив, что $8\cdot 3 =24,\quad 8+3=11$, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что $x_1=8, x_2=3$ - корни уравнения.

Ответ: $x_1=8, x_2=3.$

Пример №2

Решить устно уравнение $x^2+11x+30=0$

Решение

Подберем два числа $x_1$ и $x_2$ так, чтобы

$$\begin{cases} x_1 \cdot x_2 =30, \\ x_1+x_2 =-11. \end{cases}$$

Заметив, что $(-5)\cdot (-6) =30,\ (-5)+(-6)=-11$, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что $x_1=-5, x_2=-6$ - корни уравнения.

Ответ: $x_1=-5, x_2=-6.$

Пример №3

Решить устно уравнение $x^2+x-12=0$

Решение

Подберем два числа $x_1$ и $x_2$ так, чтобы

$$\begin{cases} x_1 \cdot x_2 =-12, \\ x_1+x_2 =-1. \end{cases}$$

Заметив, что $3\cdot (-4) =-12, \ 3-4=-1$, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что $x_1=3, x_2=-4$ - корни уравнения.

Ответ: $x_1=3, x_2=-4.$

осторожно

Чтобы избежать недоразумений, которые иногда возникают (например, здесь) при использовании теоремы Виета, лучше в оформлении решения не упоминать название теоремы, а просто записывать корни.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое квадратное уравнение называют приведенным?
2. Сформулируйте теорему Виета.
3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.