Перейти к основному содержимому

Теорема Виета

Подобно формулам сокращенного умножения, теорема Виета позволяет уменьшить "трудозатраты" при решении квадратных уравнений.

На практике теорема Виета в основном используется для приведённых квадратных уравнений.

Приведённое квадратное уравнение

Определение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 11, называют приведённым.

Например, уравнение x2+4x6=0x^2+4x-6=0 является приведённым квадратным уравнением.

Например, уравнение 5x2+7x2=05x^2+7x-2=0 делением на 55 приводится к виду x2+75x25=0x^2+\dfrac75x-\dfrac25=0

В общем виде получаем:

ax2+bx+c=0:a,ax^2+bx+c=0\vert:a, x2+bax+ca=0.x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0.

Затем избавляемся от дробных коэффициентов, заменив их буквами pp и qq, и получаем общепринятый вид приведённого квадратного уравнения:

x2+px+q=0.x^2+px+q=0.

Во многих учебниках используется именно такая форма записи, однако не будет ошибкой, если в рассуждениях мы будем указывать, что a=1a=1 и использовать привычные нам коэффициенты bb и c.c.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Теорема

Если x1x_1 и x2x_2 - корни приведённого уравнения x2+bx+c=0x^2+bx+c=0, то справедливы формулы: {x1x2=c,x1+x2=b\begin{cases} x_1 \cdot x_2 =c, \\ x_1+x_2 =-b \end{cases}

Сумма корней приведённого квдратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

В условии теоремы сказано, что x1x_1 и x2x_2 - корни уравнения, следовательно его дискриминант D0.D \geq 0. Запишем формулы корней квадратного уравнения:

x1=bD2a,x2=b+D2ax_1=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}, x_2=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}

Учитывая, что a=1a=1, запишем сумму корней:


x1+x2=bD2+b+D2=b.x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2}+\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2}=-b.


Запишем произведение корней:


x1x2=bD2b+D2=b2D24=b2(b24c)4=c.x_1\cdot x_2 =\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2} \cdot \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2}=\dfrac{b^2-D^2}{4}=\dfrac{b^2-(b^2-4c)}{4}=c.


Ещё раз обратите внимание: мы учитываем, что a=1a=1, то есть доказываем теорему только для приведённого уравнения.


Примеры решения задач

Один из корней уравнения x2x12=0x^2-x-12=0 равен x1=4x_1=4. Найти второй корень этого уравнения.

Решение

По теореме Виета x1x2=12x_1\cdot x_2 =-12. Так как x1=4x_1=4, то 4x2=124x_2=-12, откуда x2=3x_2=-3

Ответ: x2=3x_2=-3

Теорема, обратная теореме Виета

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь формулами корней.

Теорема

Если числа α\alpha и β\beta таковы, что α+β=b\alpha + \beta = -b и αβ=c\alpha \cdot \beta = c, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения x2+bx+c=0.x^2+bx+c=0.

\square Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x2+bx+c=0x^2+bx+c=0.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так:

x2(α+β)x+αβ=0.x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \cdot \beta=0.

Числа α\alpha и β\beta "кандидаты в корни" уравнения. Подставим в полученное уравнение вместо xx сначала число α\alpha, затем число β\beta. Получим:

α2(α+β)α+αβ=α2α2αβ+αβ=0\alpha^2-(\alpha+\beta)\alpha +\alpha\beta=\alpha^2-\alpha^2-\alpha\beta+\alpha\beta=0β2(α+β)β+αβ=β2αββ2+αβ=0\beta^2-(\alpha+\beta)\beta +\alpha\beta=\beta^2-\alpha\beta-\beta^2+\alpha\beta=0

Следовательно, числа α\alpha и β\beta корни нашего уравнения. \blacksquare


Примеры решения задач

Решить устно уравнение x211x+24=0x^2-11x+24=0

Подберем два числа x1x_1 и x2x_2 так, чтобы

{x1x2=24,x1+x2=11.\begin{cases} x_1 \cdot x_2 =24, \\ x_1+x_2 =11. \end{cases}

Заметив, что 83=24,8+3=118\cdot 3 =24,\quad 8+3=11, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x1=8,x2=3x_1=8, x_2=3 - корни уравнения.

Ответ: x1=8,x2=3.x_1=8, x_2=3.

осторожно

Чтобы избежать недоразумений, которые иногда возникают (например, здесь) при использовании теоремы Виета, лучше в оформлении решения не упоминать название теоремы, а просто записывать корни.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какое квадратное уравнение называют приведенным?
  2. Сформулируйте теорему Виета.
  3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.