Свойства логарифма

---

Логарифмы обладают рядом свойств, которые существенно упрощают вычисления. Эти свойства важно знать 📚.

Основное логарифмическое тождество

Рассмотрим пример $2^x=5$, где корень равен $x=\log_25$. Поскольку $x-$ это показатель степени, равенство $2^x=5$ можно переписать как $2^{\log_25}=5$. Это выражение известно как основное логарифмическое тождество.

Основное логарифмическое тождество

$$a^{\log_ab}=b$$

Например, $2^{\log_232}=32$.

Пример №1

Вычислить $64^{0.5\log_212}$.

Решение

Преобразуем выражение:

$64^{0.5\log_212} = \left(2^6\right)^{0.5\log_212}=\left(2^{\log_212} \right)^3$.

Применяя основное логарифмическое тождество:

$\left(2^{\log_212} \right)^3=12^3.$

Таким образом, $64^{0.5\log_212}=12^3$.

Пример №2

Вычислить $6^{1+\log_65}$.

Решение

Применим свойство степени и основное логарифмическое тождество:

$6^{1+\log_65}=6\cdot 6^{\log_65}=6\cdot 5=30$.

Пример №3

Вычислить $\left(\cfrac13 \right)^{\log_36}$

Решение

Применим свойство степени и основное логарифмическое тождество:

$\left(\cfrac13 \right)^{\log_36}=\left(3^{-1} \right)^{\log_36}=\left(3^{\log_36} \right)^{-1}=\cfrac16$

Основные свойства логарифма

Для всех приведенных ниже свойств предполагается, что $x>0, y>0, a>0, a \neq 1, m>0, m \neq 1$.

Свойства логарифма

1. $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$ (логарифм произведения равен сумме логарифмов).
2. $\log_{a}\cfrac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$ (логарифм частного равен разности логарифмов).
3. $\log_ax^k=k\log_ax$ (вынесение показателя степени из аргумента логарифма).
4. $\log_ab=\cfrac{\log_mb}{\log_ma}$ (переход от одного основания к другому).
5. $\log_ab=\cfrac{1}{\log_ba}$.
6. $\log_{a^{n}}b=\cfrac{1}{n}\log_ab$.

Доказательство свойства #1

Рассмотрим выражения $a^{\log_axy}$ и $a^{\log_ax+\log_ay}$. Докажем, что они равны.

Используя основное логарифмическое тождество и свойства степени, запишем:

$$\begin{gather*} a^{\log_axy}=xy; \\ a^{\log_ax+\log_ay}=a^{\log_ax} \cdot a^{\log_ay}=xy. \end{gather*}$$

Следовательно, $a^{\log_axy} =a^{\log_ax+\log_ay}$. Поскольку степени с одинаковым основанием равны, равны и их показатели. Таким образом, получаем: $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$.

Доказательство свойства #3

Рассмотрим выражения: $a^{\log_ax^k}$ и $a^{k\log_ax}$. Докажем, что они равны.

Имеем: $a^{\log_ax^k}=x^k;$

$a^{k\log_ax}=\left(a^{\log_ax} \right)^k=x^k$.

Следовательно, $a^{\log_ax^k}=a^{k\log_ax}$. Поскольку степени с одинаковым основанием равны, равны и их показатели.

Таким образом, получаем: $\log_ax^k=k\log_ax$.

---

Пример №1

Вычислить $\log_63+\log_62$.

Решение

$\log_63+\log_62=\log_66=1$

Пример №2

Вычислить $\cfrac{\log_5{64}}{\log_54}$.

Решение

$\cfrac{\log_5{64}}{\log_54}=\log_464=3$

Пример №3

Вычислить $2\lg 5 + \cfrac12 \lg 16$.

Решение

$2\lg 5 + \cfrac12 \lg 16 = \lg 25 + \lg 4 = \lg 100 =2$

---

Идеи и алгоритмы решения задач

Успешное вычисление логарифмических выражений основывается на:

• 📚 прочном знании свойств логарифмов;
• 🔧 владении общими приемами их преобразования, которые укрепляются через регулярную практическую работу.

Основные логарифмические формулы удобно разделить на две группы: формулы упаковки и формулы распаковки. Эти термины наглядно отражают процесс преобразования логарифмических выражений.

Формулы упаковки	Формулы распаковки
$\log_ax+\log_ay=\log_axy$	$\log_axy=\log_ax+\log_ay$
$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\cfrac{x}{y}$	$\log_{a}\cfrac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$
$k\log_ax=\log_ax^k$	$\log_ax^k=k\log_ax$
$\cfrac{1}{n}\log_ab=\log_{a^{n}}b$	$\log_{a^{n}}b=\cfrac{1}{n}\log_ab$

💡Идея #1

Сразу обратите внимание на логарифм $\log_ab$: не являются ли его основание $a$ и аргумент $b$ степенями одного и того же числа $c$? Если это так, то логарифм можно считать практически вычисленным.

Наапример, $\log_{\frac94}\cfrac{8}{27} =\log_{\left(\frac32\right)^2}\left(\cfrac23\right)^3=-\cfrac32$

Например, $\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cfrac{64}{27}= \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^6=-6$.

💡Идея #2

Если в упрощаемом выражении логарифм присутствует на "втором этаже" (то есть в показателе степени содержится логарифм), будьте готовы использовать основное логарифмическое тождество $a^{\log_ab}=b$.

Вам могут встретится такие выражения, как $a^{\log_a^nx}$, $a^{\frac{\log_mx}{\log_ma}}$ или $a^{\frac{b}{\log_xa}}$.

Для упрощения этих выражений примените следующее преобразование:

$$a^{\log_a^nx}=\left(a^{\log_ax} \right)^{\log_a^{n-1}x}$$ $$a^{\frac{\log_mx}{\log_ma}}=a^{\log_ax}$$ $$a^{\frac{b}{\log_xa}}=a^{\log_ax^b}$$

В частности, $a^{\log_a^2x}=\left(a^{\log_ax} \right)^{\log_ax}=x^{\log_ax}.$

Пример №1

Упростить выражение $(0.25)^{\cfrac{\log_{12}\log_8x}{\log_{\frac{1}{12}}4}}$

Решение

$$\begin{gather*} (0.25)^{\frac{\log_{12}\log_8x}{\log_{\frac{1}{12}}4}} = \left(4^{-1}\right)^{\frac{\log_{12}\log_8x}{-\log_{12}4}}= \\ \\ = 4^{\frac{\log_{12}\log_8x}{\log_{12}4}} = 4^{\log_4\log_8x}= \log_8x \\ \end{gather*}$$

Пример №2

Упростить выражение $\left(2\cdot x^{1+\frac{1}{2\log_4x}}+4\cdot 2^{\frac{3}{\log_{x^2}8}}+1 \right)^{\frac12}-2x$

Решение

$\cfrac{\log_5{64}}{\log_54}=\log_464=3$

Пример №3

Вычислить $2\lg 5 + \cfrac12 \lg 16$.

Решение

$2\lg 5 + \cfrac12 \lg 16 = \lg 25 + \lg 4 = \lg 100 =2$