Многоугольник опорные задачи

В этой части мы рассмотрим три опорных задачи. Первая задача - задача технического характера, которая позволяет находить количество сторон и углов в многоугольнике. Вторая и третья задачи – свойства многоугольника, которые нужно уметь выводить.

1.8 Опорная задача №1

Сумма углов выпуклого многоугольника равна 9000. Найти число сторон этого многоугольника.

Решение:

Сумма углов n-угольника равна $180 \cdot (n-2)$. Составим и решим уравнение:

$180 \cdot (n-2)=900$

$n-2=5$

$n=7$

Ответ: 7 сторон

1.9 Опорная задача №2

Доказать, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 3600.

I способ решения

Эту задачу можно решить, не используя ранее изученного материала.

Пусть в вершине А2 находится человек, который начинает обходить весь n-угольник по контуру. Проходя каждую вершину, он будет поворачиваться на угол равный внешнему углу. Когда обход будет завершен, наш человек вернется в прежнюю позицию. То есть общий поворот произойдет на 3600.

II способ решения

Рассмотрим все развернутые углы, образованные внешними и внутренними углами n-угольника.

Сумма таких углов равна $180^0 \cdot n$. Чтобы найти сумму внешних углов, нужно из суммы развернутых углов вычесть сумму всех внутренних углов. Получим:

$$180^0 \cdot n - 180^0 \cdot (n-2) = 180^0 \cdot n - 180^0 \cdot n +360^0 = 360^0$$

1.10 Опорная задача №3

Найти число диагоналей семиугольника.

Решение

  1. Из вершины А1 можно провести четыре диагонали. Из соседней вершины также можно провести четыре диагонали.
  2. Так как из каждой вершины можно провести по четыре диагонали, то у нас получится $7 \cdot 4=28$ «исходящих» диагоналей.
  3. При этом каждая диагональ учитывается дважды. Поэтому всего диагоналей будет $28:2=14$
Если рассматривать n-угольник и рассуждать таким же образом, то мы получим формулу числа диагоналей n-угольника: $$N=\frac{n \cdot (n-3)}{2}$$
Предыдущая страница
Следующая страница