Элементы многоугольника и свойства многоугольника

1.1 Обзор урока

Многоугольник – это геометрический объект, который имеет свои элементы и свойства. Вначале нам необходимо дать определение многоугольнику.

Дать определение чему-либо – значит объяснить, что это такое. Когда мы даем определение новому понятию, мы должны обратиться к тем понятиям, которые уже известны. В нашем случае это понятие ломаной.

К элементам многоугольника относят вершины, стороны, углы, диагонали.

Свойства многоугольника – это определенные теоремы, которые мы далее сформулируем и докажем.

Все многоугольники можно разделить на две группы: выпуклые и невыпуклые. Вам нужно будет ясно понимать, как провести такое разделение.

рис.1

1.2 Ломаная

Ломаная – геометрическая фигура, которая состоит из последовательно соединенных отрезков. Ломаные могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Основным элементом ломаной является отрезок, который называют звеном. Часто используют термин смежные отрезки. Здесь нужно обратить внимание на два момента:

  • cмежные отрезки имеют общий конец;
  • cмежные отрезки не лежат на одной прямой.

Ломаная может пересекать саму себя. Такая ломаная называется самопересекающейся или непростой ломаной. Если пересечений нет, то мы имеем дело с простой ломаной.

рис.2

1.3 Определение многоугольника

Теперь мы можем дать определение геометрическому объекту многоугольник.

Очевидно, что многоугольником называется простая замкнутая ломаная. Но такое определение будет не полным. Достаточно вспомнить понятия круга и окружности. В первом случае это линия, во втором часть плоскости, ограниченная этой линией.

рис.3

Если идти таким путем, то в нашем случае тоже появится два понятия. Это, конечно, излишне. Итак, ломаная ограничивает часть плоскости, поэтому нам нужно учесть этот момент и сформулировать определение так:

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

1.4 Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Все многоугольники делятся на два типа: выпуклые и невыпуклые многоугольники.

На рисунке представлены эти два вида. Интуитивно мы можем определить какой выпуклый, а какой нет. Нам нужно сформулировать правило по которому мы сможем относить любой многоугольник к определенной группе.

рис.4

В обоих случаях проведем прямую, которая содержит сторону А1А6. Слева многоугольник целиком лежит по одну сторону от прямой, а справа только часть многоугольника. Это правило позволяет дать нам следующее определение:

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. В противном случае он называется невыпуклым.

1.5 Элементы многоугольника

Рассмотрим элементы многоугольника.

рис.5

Здесь нужно выделить такие элементы как:

  • смежные стороны (стороны, которые имеют общую вершину);
  • внешний угол (угол смежный с внутренним углом);
  • диагональ (отрезок, который соединяет две не соседние вершины многоугольника).

1.6 Четырехугольник

В нашем курсе будут рассматриваться в основном четырехугольники (многоугольники с четырьмя углами).

Здесь можно выделить такие элементы как:

  • противоположные стороны (две несоседние стороны);
  • противоположные углы (углы при противоположных вершинах).

Диагональ четырехугольника разбивает его на два треугольника.

Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух треугольников. То есть 1800 + 1800 =3600. Итак: сумма углов четырехугольника равна 3600

1.7 Теорема о сумме углов n-угольника

Многоугольник у которого n-углов называют n-угольником.

Используя термин n-угольник, мы тем самым показываем, что нам не важно сколько углов и сторон у нашего многоугольника. Для того чтобы нарисовать n-угольник, достаточно выделить пунктиром сторону содержащую предпоследнюю вершину.

Свойство, которое позволяет находить нам сумму углов любого многоугольника называется теоремой о сумме углов n-угольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна $180 \cdot (n-2) $

Для доказательства теоремы воспользуемся методом, который был рассмотрен при нахождении суммы углов четырехугольника.

  1. Проведем из вершины A1 диагонали ко всем несоседним сторонам. Диагонали разбивают многоугольник на треугольники. Теперь нам нужно определить какое количество треугольников получилось.
  2. Мы можем рассуждать следующим образом:
    • если разбить диагоналями 5-угольник, то получится 3 треугольника;
    • если 6-угольник, то 4 треугольника;
    • если 7-угольник, то 5 треугольников.

Значит n-угольник разобьется на n-2 треугольника. Такое рассуждение называют рассуждением по индукции (от частного переходим к общему).

Рассуждение по индукции - это когда из частичных знаний мы получаем выводы о ситуации в целом.

Можно рассуждать по-другому. Когда мы проводим диагональ, на каждую сторону приходится по треугольнику за исключением двух смежных сторон A1A2 и A1An, то есть n-2 треугольника.

3.В каждом треугольнике сумма углов равна 180, значит сумма углов n-угольника: $180 \cdot (n-2)$.

Предыдущая страница